Utilizando el logaritmo complejo para encontrar la suma de los ángulos en un triángulo.

Question

Suponga que tiene un triángulo con vértices $a$, $b$, y $c$. Yo le preguntó a principios de cómo se pueden definir los ángulos en un triángulo en función de la $\log$ función. He recibido la respuesta de que, por ejemplo, el ángulo en el $a$$\left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right|$.

Puede ser usado para demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es $\pi$? Me suman los ángulos como $$ \left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right|+\left|\Im\log\left(\frac{a-b}{c-b}\right)\right|+\left|\Im\log\left(\frac{a-c}{b-c}\right)\right|. $$

Me di cuenta de que $\left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\frac{a-b}{c-b}\frac{b-c}{a-c}\right)\right|=\left|\Im\log(-1)\right|=\pi$, cuando la evaluación en la rama principal.

Tuve que hacer un poco de trampa y de un tirón la $\frac{a-c}{b-c}$. Es allí una manera más sistemática para demostrar que esto de alguna manera?

Answer 1

Darle la vuelta a la $\frac{a-c}{b-c}$ (o cualquiera de las fracciones en su ángulo expresiones) en realidad no es hacer trampa. En primer lugar, tal vez de forma más intuitiva, cuando dijo que la medida del ángulo $a$$\left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right|$, el intercambio de $b$ $c$ no debe cambiar la medida del ángulo, por lo que debe esperar $\left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right|=\left|\Im\log\left(\frac{b-a}{c-a}\right)\right|$. Más formalmente, $\frac{b-a}{c-a}=(\frac{c-a}{b-a})^{-1}$, por lo que $$\begin{align} \left|\Im\log\left(\frac{b-a}{c-a}\right)\right|&=\left|\Im\log\left(\left(\frac{c-a}{b-a}\right)^{-1}\right)\right| \\ &=\left|-\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right| \\ &=\left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right| \end{align}$$ (since the factor of $-1$ sólo cambia el signo de la parte imaginaria, y que el cambio de signo es aniquilada por el valor absoluto).

Lo que se podría hacer trampa, sin embargo, es la combinación de los valores absolutos.

Me gustaría ir sobre esto en una forma ligeramente diferente. Vamos a empezar por la copia de seguridad $$\begin{align} m\angle a&=\left|\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right| \\ &=\left|\Im\left(\log(c-a)-\log(b-a)\right)\right| \\ &=\left|\Im\log(c-a)-\Im\log(b-a)\right|. \end{align}$$ $\Im\log(c-a)$ and $\Im\log(b-a)$ are the directed angles from the positive real axis to the ray from $0$ to $c-a$ and $b-a$, respectively, so $\Im\log(c-a)-\Im\log(b-a)$ is the directed angle from $b-a$ to $c-a$. Cuando digo "dirigida", ángulo, me refiero a que un ángulo positivo es una rotación en sentido antihorario.

Ahora, sin pérdida de generalidad, vamos a los vértices ser etiquetados $a$, $b$, y $c$ en sentido antihorario alrededor del triángulo:

Trabajando con cuidado, podemos asegurar que estamos a la medida de cada ángulo en la dirección positiva, y evitar así los valores absolutos: $$\begin{align} m\angle a&=\Im\log(c-a)-\Im\log(b-a)=\Im\log\frac{c-a}{b-a} \\ m\angle b&=\Im\log(a-b)-\Im\log(c-b)=\Im\log\frac{a-b}{c-b} \\ m\angle c&=\Im\log(b-c)-\Im\log(a-c)=\Im\log\frac{b-c}{a-c} \\ \\ m\angle a+m\angle b+m\angle c&=\Im\log\frac{c-a}{b-a}+\Im\log\frac{a-b}{c-b}+\Im\log\frac{b-c}{a-c} \\ &=\Im\log\left(\frac{c-a}{b-a}\cdot\frac{a-b}{c-b}\cdot\frac{b-c}{a-c}\right) \\ &=\Im\log\left((-1)^3\right) \\ &=\pi. \end{align}$$