Mostrar que $(A[X])^\times=A^\times+nil(A[X])$

Question

Actualmente estoy leyendo el libro Básico de Álgebra Conmutativa, por Balwant Singh, en el ejercicio I. XVI se lee como:

Mostrar que $(A[X])^\times=A^\times+nil(A[X])$.

Aquí, un anillo de $A$, $A^\times$ significa el conjunto de todas las unidades y $nil(A)$ es la intersección de todos los primer ideales, o el nilpotent radical, el radical de la cero ideal $(0)$.

P. S. me han demostrado que $A^\times=A^\times+nil A$, pero no puede vencer a este ejercicio.
Gracias por la ayuda.

Answer 1

Como usted dice, la suma de una unidad y un nilpotent elemento es una unidad. Esto inmediatamente le da a uno la inclusión.

He aquí un boceto para una prueba de la inversa de la inclusión. Deje $f(X) = a_nX^n + \cdots + a_0$ ser invertible. Deje $g(X) = b_mX^m + \cdots + b_0$ ser la inversa de a $f$. Claramente $b_0 \in A^*$. Vamos a demostrar que $a_n$ es nilpotent. Para empezar, $a_nb_m = 0$. Mirando el coeficiente de $X^{n + m - 1}$$fg$, podemos ver que $a_nb_{m - 1} + a_{n - 1}b_m = 0$. Multiplicando esto por $a_n$, obtenemos \[ a_n^2b_{m - 1} + a_{n - 1}a_nb_m = a_n^2b_{m - 1} = 0. \] La idea es seguir haciendo esto hasta llegar a $a_n^{m + 1}b_0 = 0$.

Answer 2

Permítanme mostrar, sin necesidad de cálculo de la parte difícil:

Si $f(X)=a_0+a_1X+...+a_n X^n\in (A[X])^\times$, entonces para todos los $i\gt0$, el coeficiente de $a_i$ es nilpotent.

Prueba
Para una arbitraria primer ideal $\mathfrak p\subset A$, la clase $\bar f(X)\in A/\mathfrak p [X]$ es invertible en a $A/\mathfrak p [X]$.
Desde $A/\mathfrak p [X]$ es un dominio, esto implica $\bar a_i=0$ (debido a que grado consideraciones muestran que una invertible polinomio con coeficientes en un dominio es una constante).
Pero este dice que $a_i\in \mathfrak p$ para todo el primer ideales en $\mathfrak p \subset A$. Por lo tanto $a_i$ es nilpotent.