Un niño ha $10$ bloques idénticos, cada uno de los cuales es para ser pintado con uno de $4$ colores. de cuántas maneras diferentes puede el $10$ bloques de pintar?
La respuesta es $286$ pero no tengo idea de cómo lo consiguieron.
A partir de cambridge año diez de la libreta de $2$
Una forma común para explicar lo que se conoce como "estrellas y barras".
Ilustraré por "inmersión" idéntico bolas (cajas) en distintos recipientes (de colores) numeradas $1-4$, y representan los resultados obtenidos
Uno de los resultados podría ser de $\;\;\bullet\bullet\bullet|\bullet\bullet\bullet\bullet|\bala |\bullet\bullet\;\\;\; 3-4-1-2$ de cada uno de los colores.
Hacer dos notas: sólo $3$ divisores son necesarios para representar el $4$ papeleras, y algunos cajones podría permanecer vacío, por ejemplo, $|\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet|\bullet\bullet\bullet|$ que representa a $\;\;0-7-3-0$
Así que si hay $n$ bolas y $k$ contenedores ($k-1$ divisores), la única opción que tiene es el lugar de los divisores entre el montón, así
$\dbinom{n+k-1}{k-1}$ que funciona a $\dbinom{10+3}{3} = 286$ por su ejemplo en particular.
Usted puede mirar aquí si necesitas una explicación más técnica
¿Por qué se da el caso de que este problema se puede reducir al problema de hallar cuatro números negativos que se suma a $10$? Eso es porque en el final, cada cuadro va a ser pintado con un poco de color, lo que da $10$ como el número total de bloques,pero es posible que algunos colores se podía quedar fuera, en cuyo caso su contribución a la anterior suma será igual a cero. Así, los problemas son los mismos y tienen la misma respuesta.
En cuanto al segundo problema, supongamos que usted tiene algunos de los cuatro números negativos $x_1+x_2+x_3+x_4=10$. Ahora agregue $4$ a cada lado de esta manera: $(x_1 + 1)+(x_2 + 1)+(x_3+1)+(x_4+1)=10+4=14$. Nota ahora que si nos vamos a $y_i=x_i+1$ $y_i$ son estrictamente positivos enteros suma a $14$. Por lo tanto, nuestro problema se reduce a hallar el número de estrictamente positivo soluciones para el problema de $y_1+y_2+y_3+y_4=14$.
Pero ahora, esto se puede hacer de la siguiente manera: Supongamos que yo dibuje $14$ puntos aquí: $$ \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ \cdot $$ Ahora podemos representar una suma de $14$ $4$ enteros haciendo una partición de estos puntos. Voy a explicar con un ejemplo: Supongamos que usted desea representar a $14=4+2+4+4$,entonces se puede mostrar: $$ \cdot a \cdot a \cdot \ \cdot \mid \cdot \ \cdot \mid \cdot a \cdot a \cdot \ \cdot \mid \cdot a \cdot a \cdot \ \cdot $$ Asimismo, para $14=7+1+5+1$, $$ \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \mid \cdot \mid \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \mid \cdot $$ ¿Ahora ven! A constrcut una partición de $14$ a $4$ positivos enteros, hemos tenido que elegir cómo poner $3$ divisores $13$ ranuras, por lo que el $4$ grupos de puntos se crean, cada uno de los cuales no están vacías y el ser total $14$. De ello se deduce que la respuesta es $\binom{13}{3}$ o $\frac{13!}{3!10!}=286$.
Como un ejercicio, pensar en qué pasaría si los bloques son distintas, así, y si los bloques se había $6$ caras, cada cara puede ser de diferente color.
Si las manzanas fueron contados $1$ a través de$10$, entonces la respuesta sería, simplemente,$4^{10}$. Pero todos los bloques son idénticas, por lo que el problema es un poco más difícil. Imagina que todos los bloques de colores y, a continuación, forrado por el color, tal vez todos los rojos, a continuación, todos los verdes ect... tendríamos una imagen como esta: $$[\;\;]\ [\;\;]\ {\Big|}\ [\;\;]\ {\Big|}\ [\;\;]\ [\;\;]\ [\;\;]\ {\Big|}\ [\;\;]\ [\;\;]\ [\;\;]\ $$ Donde "$|$" divide a los grupos de cajas. Desde este arreglo se describe de forma unívoca la coloración de los bloques (hasta fin de que no nos importa) el número de maneras en que el color de los bloques es el número de maneras para hacer este arreglo, con lo que el número de maneras de elegir la posición de los divisores "$|$". $$N={13\choose 3} = 286$$ Con $n$ bloques y $m$ colores el número de coloraciones está dada por $$N = {n+m-1\choose m-1}$$ que es, de hecho, el número de maneras de suma $m$ números de a $n$.
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