Dado $P(t): [0,1]\to [0,1]^2$ un espacio de llenado de la curva, podemos calcular el $\iint_{[0,1]^2}f(x,y) dxdy$ $\int_0^1 f(P(t))\,dt$ o algo parecido?

Question

Dado $P(t): [0,1]\to [0,1]^2$ un continuo bijection, podemos calcular el $\iint_{[0,1]^2}f(x,y)\, dx\,dy$ $\int_0^1 f(P(t))\,dt$ o algo parecido?

Estoy pensando en la $P(t)$s, así como las curvas de peano: sabemos continuo bijections existe, por lo tanto, con un solo parámetro $t$, podemos llenar todo el dominio de integración $D\subseteq \Bbb R^2$, por lo que, me gustaría pensar que debemos ser capaces de calcular la integral doble en el título con una sola integral (integración con respeto a $t$).

Es esto posible?

E: Como se discute en los comentarios de la única respuesta, no puede ser un par de molestos tecnicismos aquí ($P$ no ser un bijection), prefiero no molestar con ellos, pero a ver si esta idea es útil de alguna manera.

Estoy interesada en lo de Riemann o R-S integral, pero relacionados con la materia sobre la integral de lebesgue es también bienvenida.

Answer 1

Bueno, en primer lugar, no es continua bijection de $[0,1]$ a $[0,1]^2$. Como ya se ha señalado varias veces; su respuesta que usted no quiere preocuparse por que me parece muy curioso - si usted simplemente se ha corregido la pregunta a ser algo más sensato sería una buena pregunta.

De todos modos. Dado un continuo surjection $P:[0,1]\to[0,1]^2$, es cierto que $$\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,dxdy=\int_0^1 f(P(t))\,dt?$$The answer is of course no for "most" such $P$, but it's yes for some $P$, incluyendo uno de la norma ejemplos - la respuesta es sí, por ejemplo, comúnmente conocida como la curva de Hilbert.

Esto nos dice que la curva de Hilbert $H$ es la medida de preservación, que se deduce del hecho de que $H^{-1}([j2^{-n},(j+1)2^{-n}]\times[k2^{-n},(k+1)2^{-n}])$ es "esencialmente" (que es, salvo un conjunto de medida cero) es igual a $[m4^{-n},(m+1)4^{-n}]$.

La curva de Hilbert tiene otras buenas propiedades. Por ejemplo, es fácil ver que una curva de rellenado de espacio no puede ser$Lip_\alpha$$\alpha>1/2$, e $H$ es en el hecho de $Lip_{1/2}$. Esto me dice que $H$ es en cierto sentido un muy "eficiente" que llena el espacio de la curva; tan malo como sea necesario para obtener el trabajo hecho, no peor.

Answer 2

Tal $P(t)$ no existe. Si lo hiciera, sería un homeomorphism (la inversa también sería continua), ya que $[0,1]$ es compacto y $[0,1]^2$ está separado. Pero los dos no son homeomórficos; puede desconectar el segmento de línea mediante la eliminación de un punto, pero no puede hacer lo mismo a la plaza.

Así que la cosa entera es la filosofía acerca de cosas que no pueden existir.