Deje que$\mathbb{K}$ sea el campo de división de$x^4 -2 x^2 -2$ sobre$\mathbb{Q}$. Determine todos los subgrupos del grupo Galois

Question

Deje $\mathbb{K}$ el de la división de campo de la $x^4-2x^2-2$$\mathbb{Q}$. Determinar todos los subgrupos del grupo de Galois y dar a sus fijos correspondientes subcampos de $\mathbb{K}$ contiene $\mathbb{Q}$.

$\mathbb{K}$= $\mathbb{Q}(\alpha,i\sqrt{2})$ donde $\alpha$ es una raíz. Las otras raíces se $-\alpha, \frac{i\sqrt{2}} {\alpha},- \frac{i\sqrt{2}} {\alpha}$.

He demostrado que los $Gal(\mathbb{K}/\mathbb{Q})$ es (isomorfo a) $D_4$ y los generadores se $\sigma,\tau$$\sigma^4=\tau^2=id$$\sigma^3\tau=\tau\sigma$, para $\sigma(\alpha)=\frac{i\sqrt{2}}{\alpha}$, $\sigma(i\sqrt{2})=-i\sqrt{2}$ y $\tau(\alpha)=\alpha,\tau(i\sqrt{2})=-i\sqrt{2}$.

He considerado que todos los subgrupos de $Gal(\mathbb{Q}(\alpha,i\sqrt{2})$/$\mathbb{Q}$) pero yo no sabía que son los fijos correspondientes subcampos. ¿Cuál sería el campo fijo de { $id,\sigma^2,\sigma\tau,\sigma^3\tau$ }?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $x^4-2x^2-2=(x^2-1)^2-3$ tiene una raíz real positiva, $\sqrt{1+\sqrt3}$. Voy a llamar a esta $\alpha$, lo $\alpha^2-2=2\alpha^{-2}$, y el imaginario puro raíz en la mitad superior del plano (en el eje imaginario positivo) es $\beta=\sqrt{1-\sqrt3}=i\sqrt2/\alpha$, y las raíces se $\{\pm\alpha,\pm\beta\}$. Vamos a empezar con una tabla de las acciones de los elementos del grupo de Galois $G=Gal(K/\mathbb{Q})=\langle\sigma,\tau\rangle$ en algunos generadores de nuestra división de campo, $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ $=\mathbb{Q}(\alpha,\alpha\beta=i\sqrt{2})$. $$ \begin{array}{c|cccccccc} \phi &\text{id} &\sigma &\sigma^2 &\sigma^3 &\tau &\sigma\tau &\sigma^2\tau &\sigma^3\tau \\ \hline \phi(\alpha) &\alpha & \beta &-\alpha &-\beta &\alpha & \beta &-\alpha &-\beta \\ \phi(\beta) & \beta &-\alpha &-\beta & \alpha &-\beta & \alpha & \beta &-\alpha \\ \phi(i\sqrt2)&\alpha\beta &-\alpha\beta &\alpha\beta &-\alpha\beta &-\alpha\beta &\alpha\beta &-\alpha\beta &\alpha\beta \\ \end{array} $$ Tenga en cuenta que extraño poderes de $\sigma$ tienen orden de $4$, y los otros no la identidad de los elementos tiene el fin de $2$. El subgrupo $\langle\sigma^2,\sigma\tau\rangle$ usted está preguntando acerca consiste en la $4$ elementos que arreglar $\alpha\beta=i\sqrt2$ (y su opuesto, $-\alpha\beta$). Estos no solucionar todo puro eje imaginario, ya que $\beta$ es imaginario puro y cada una de las $\sigma^2,\sigma\tau,\sigma^3\tau$ llevarlo a una de las otras raíces. Por lo que el campo fijo de este subgrupo es $\mathbb{Q}(\alpha\beta)$.