Ayuda para evaluar una función gamma

Question

Necesito hacer un repaso de cálculo; nunca me he sentido del todo seguro con él y sigue apareciendo a medida que profundizo en la estadística. Actualmente, estoy trabajando a través de un poco de teoría de la prueba y el análisis básico como una especie de precursor de la revisión de cálculo, y acabo de golpear a un problema que requiere la integración. Derivadas estoy bien con, pero realmente no recuerdo cómo tomar integrales correctamente. Este es el problema:

$$\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$$ Si $x \in \mathbb{N}$ entonces $ \Gamma(x)=(x-1)!$

Comprueba que esto es cierto para x=1,2,3,4

Leí un poco sobre la integración, pero me dio vueltas la cabeza. Si alguien quiere echarme una mano, se lo agradecería. Probablemente debería dejar esto a un lado por ahora, pero una parte de mí quiere arar a través de él.

Actualización: Gracias por las respuestas. Sospecho que todo esto tendrá más sentido una vez que haya revisado la integración. Tendré que revisarlo entonces.

Answer 1

En general:

$$u=t^{x-1}\;\;,\;\;u'=(x-1)t^{x-2}\\v'=e^{-t}\;\;,\;\;v=-e^{-t}$$

así que

$$\Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt=\overbrace{\left.-t^{x-1}e^{-t}\right|_0^\infty}^\text{This is zero}+(x-1)\int\limits_0^\infty t^{x-2}e^{-t}=$$

$$=:(x-1)\Gamma(x-1)$$

Así que sólo necesitas saber $\,\Gamma(1)=1\,$ y esto es casi inmediato...

Answer 2

Pista: Utiliza la integración por partes (varias veces) para simplificar la integral a algo que puedas evaluar. $$ \int_a^b\!f(x)g'(x)\,dx = \left.f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b\!f'(x)g(x)dx $$