¿Tiene el coche más energía cinética al girar?

Question

Hice esta Phys.SE pregunta Qué coche pierde energía cinética al girar?

Suponga que un coche en marcha sin perder su velocidad mediante la celebración de un punto por una cuerda.

De la OMI, mientras que el coche está girando, su energía cinética es constante $E=(1/2)mv^2$, pero ha de rotación adicional de energía a medida que cambia es la dirección de $E=(1/2)Iw^2$ (al encender)

Yo siento que esto tiene algo de malo, pero no sé. Así que si o no, el coche tiene más energía al girar?

Answer 1

No, no gana energía. La confusión surge porque hay una fuerza que no funciona.

Si el automóvil se mueve una distancia$d \vec l = \vec v dt$, entonces el trabajo realizado durante ese tiempo$dt$ es$dW_{rope} = \vec F_{rope}\cdot d \vec l= 0$. Esto se debe a que$ \vec F_{rope}$ y$d \vec l$ siempre están perpendiculares entre sí (¡dibuje y verifique esto!) Lo que significa que su producto siempre es cero. La cuerda puede cambiar la dirección del automóvil, pero no puede acelerarlo o desacelerarlo.

Answer 2

La energía potencial$ P $ del auto no cambia (el auto permanece en el piso todo el tiempo), y debido a que se mueve uniformemente en un círculo, su velocidad$\left | \mathbf{V} \right |$ no cambia. Pero la energía cinética$ K $ del auto es$\frac {1}{2} m\left | \mathbf{V} \right |^2 $, por lo que no cambia también. Por lo tanto, la energía total$ E= K + P $ no cambiará también.

Answer 3

Al calcular la energía de un objeto en rotación se estima que la velocidad tangencial o la velocidad angular. Las dos expresiones son dos maneras diferentes de ver el mismo observable, que ambos llevan exactamente el mismo resultado y la suma de ellos es un error.

Por ejemplo, para un punto como la masa sobre una línea recta tenemos:

$$E_l = \frac{1}{2}m v^2$$

Ahora cogemos la masa con un lazo de longitud $R$ y que nos obligan a un movimiento circular. Vamos a tratar mal la cosa: $$E_c = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2} mR^2 \left(\frac{v}{R}\right)^2 = mv^2=2E_l\;???$$

Pero desde el lazo genera una perpendicular a la fuerza que no hace ningún trabajo, no es posible que la energía para el cambio. Como Kvothe señaló:

Si el coche se mueve una distancia $d \vec l = \vec v dt$, entonces el trabajo realizado durante ese tiempo $dt$$dW_{rope} = \vec F_{rope}\cdot d \vec l= 0$. Esto se deduce porque $ \vec F_{rope}$ $d \vec l$ siempre perpendiculares entre sí (dibujar y comprobar!) lo que significa que sus el producto es siempre cero. La cuerda puede cambiar la dirección del coche, pero no se puede acelerar o ralentizar.

Así que usted puede calcular la energía con la tangencial de cantidades ($m,v$) o las cantidades angulares ( $I,\omega$ ), ya que es más sencillo, pero hacer el trabajo solo una vez!

Answer 4

$\def\om{\omega}\def\vr{{\vec r}}\def\l{\left}\def\r{\right}\def\ve{{\vec e}}\def\vom{{\vec\omega}}\def\ds{\,'}$ Dejar que el coche se mueva en el (x,y) del plano -, vamos a $m$ ser el coche de la masa y deje $J$ ser el momento de inercia de la rotación sobre el eje a través del centro de masa alineados paralelos a la dirección z.

Si usted tiene una línea recta y un círculo con un radio de $R$ y una transición suave entre la línea y el círculo y el coche es sin pérdida de restringida a esta curva, a continuación, el equilibrio de la energía dice que para la velocidad de $v_1$ en la línea y la velocidad de $v_2$ sobre el círculo \begin{align} \frac m2 v_1^2 &= \frac m2 v_2^2 + \frac{J}{2R^2} v_2^2\\ \frac{v_1}{v_2} &= \sqrt{1+\frac{J}{mR^2}}. \end{align} Así que sí, sin pérdidas o las transformaciones de la energía (como la química a energía mecánica) la velocidad en la sección circular será menor que la velocidad en la línea recta.

Compasivamente es difícil escribir las ecuaciones de movimiento de una ruta de acceso. Si uno trata con una conexión directa entre la línea recta y la trayectoria circular uno termina con lo que he escrito a continuación.

El curriculum vitae es que la instantánea de transición desde el camino lineal a la trayectoria circular corresponde a un impulsivo inicio del movimiento de rotación. Pero hay que tener algo parecido a una colisión.

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Consideremos la curva \begin{align} (x(s),y(s),0)=\begin{cases} (1,s,0)&\text{ for } s<0\\ (\cos(s),\sin(s),0)&\text{ for } s\in[0,2\pi) \end{casos} \end{align} parametrizada por longitud de arco $\l(|d\vr| = \sqrt{\cos'(s)^2 + \sin'(s)^2} ds = ds\r)$.

La instantánea de traslación velocidad del coche es $|\dot\vr(t)| = \dot s(t)$. Instantáneos de la velocidad de rotación del coche es $\vom=\ve\times\dot\ve$ con el vector unitario $$ \ve = \vr\ds = \begin{cases} (0,1,0)&\text{ for }s<0\\ (-\sin(s),\cos(s),0)&\text{ for }s\in[0,2\pi) \end{casos} $$ (la derivada de w.r.t. el parámetro de longitud de arco). Por lo tanto, $$ \vom(t) = \begin{cases} \vec{0}&\text{ for }s(t)<0\\ (0,0,\dot s(t))&\text{ for } s(t)\in[0,2\pi) \end{casos} $$ Es una pura rotación alrededor del eje z con velocidad de rotación $$\omega = \begin{cases} 0&\text{ for }s(t)<0,\\ \dot s(t)&\text{ for } s(t)\in[0,2\pi). \end{casos}$$

Con el coche de masa $m$, y el momento de inercia de la $J$ de la energía cinética y también el Lagrangiano es \begin{align} L(s,\dot s) &= \frac m2 {\dot s}^2 + \frac J2 \omega^2\\ &= \frac12(m+JH(s)){\dot s}^2 \end{align} donde $$H=\begin{cases}0&\text{ for }s<0\\\frac12&\text{ for }s=0\\1&\text{ for }s> 0\end{cases}$$ es la función de Heaviside. La ecuación del movimiento es \begin{align} \frac{d}{dt}\l(\frac{\partial}{\partial{\dot s}}L\r)-\frac{\partial}{\partial s}L &= 0 \end{align} que da con \begin{align} \frac{\partial}{\partial{\dot s}}L&= (m+JH(s)){\dot s}\\ \frac{d}{dt}\l(\frac{\partial}{\partial{\dot s}}L\r) &= (m+JH(s)){\ddot s}+J\delta(s){\dot s}^2\\ \frac{\partial}{\partial{s}}L&= \frac12 J\delta(s){\dot s}^2 \end{align} la ecuación \begin{align} (m+JH(s)){\ddot s}+\frac{J}{2}\delta(s){\dot s}^2&=0\\ {\ddot s}&=-\frac{J}{2(m+JH(s))}\delta(s){\dot s}^2 \end{align} Esto nos dice que la velocidad de disminución en el $s=0$ si $\dot s\neq 0$ no.

El coeficiente de $\delta(s)$ es discontinuo. Que significa que el valor integral del producto no está bien definida. E. g., para el producto $\frac{J}{2(m+JH(s))}\delta(s)$ el valor integral puede ser de entre el $\frac{J}{2 m}$$\frac{J}{2(m+J)}$. De esta manera se expresa que en la transición de la straigt línea de la curva circular tiene algo así como un impacto y este impacto puede ser con o no.

Supongamos que el coche pasa $s=0$$t=0$$\dot s(t-)>0$. Entonces tenemos \begin{align} \int_{t=0-}^{0+}\ddot s dt &= \int_{t=0-}^{0+} -\frac{J}{2(m+JH(s))}\delta(s){\dot s}^2 dt\\ \dot s(0+)-\dot s(0-) &= \int_{s=0-}^{0+} -\frac{J}{2(m+JH(s))}\delta(s){\dot s} ds \end{align} Si utilizamos la simétrica distribución delta de dirac con $\int H(s) \delta(s) ds = \frac12$ tenemos \begin{align} \dot s(0+)-\dot s(0-) &= -\frac{J}{2(m+\frac12J)}{\dot s}(0+)+\frac{J}{2m}{\dot s}(0-) \end{align} y podemos calcular la velocidad después de $t=0$ \begin{align} \dot s(0+)&= \frac{1+\frac{J}{2m}}{1+\frac{J}{2m+J}}{\dot s}(0-)\\ &=\frac{2m+J}{4m(m+J)}{\dot s}(0-) \end{align} Pero esto no corresponde a las velocidades que son necesarios para la conservación de la energía.