¿Puede un grupo no cíclico de orden $p^2$ actúan sobre una superficie orientable sin elementos libres?

Question

En primer lugar, ¿puede un grupo de orden $p^2$ para un primer $p>2$ que no es cíclica actúan sobre una superficie orientable de género $g>1$ ? Si es así, ¿es posible que actúe de manera que ningún elemento actúe libremente?

Espero que la respuesta a la segunda sea no, pero me cuesta establecerla.

¡Cualquier idea sería genial!

Answer 1

1. Sí, un grupo muy finito actúa (libremente) sobre una superficie orientada cerrada de algún género $>1$ . Esto se deduce de la teoría de la cobertura y del hecho de que todo grupo finito es isomorfo al grupo cociente de algún grupo de superficie.

2. Construir una acción de $G=Z_p\times Z_p$ ( $p$ es primo) donde ningún elemento actúa libremente es más difícil. He aquí una construcción. Se parte del hecho de que para cada elemento no trivial $g\in G$ tiene la propiedad de que $\phi_g: G/<g>\cong Z_p$ . Ahora, enumera todos estos cocientes $X_g$ (hay un número finito). Tomemos la (unión finita) de estos $G$ -(es decir, conjuntos equipados con un $G$ -) y, por lo tanto, esta unión es de nuevo una $G$ -set, lo llamaré $X$ . Por la construcción, cada elemento $g\in G$ tiene al menos $p$ puntos fijos en $X$ (es decir, todo el $X_g$ ). Se puede optimizar la construcción para que cada $g\ne 1$ tiene exactamente $p$ puntos fijos. Ampliaré la $G$ -Ajustar $X$ a una mayor $G$ -espacio $X'$ ampliando cada punto $x\in X$ a un disco de 2 $D_x$ centrado en $x$ en el que el estabilizador $G_x$ de $x$ en $G$ actúa como un grupo finito de rotaciones. A continuación, se adjuntan 1-manos (es decir, productos $I\times I$ a $X'$ en $G$ -de manera equivariante, hasta que el resultado sea una superficie conexa con frontera en la que $G$ está actuando de nuevo. Espero que estés familiarizado con la terminología de "asas", es muy estándar en topología geométrica, como lo es la idea de construir colectores uniendo asas 1 con asas 0, etc: Esto es exactamente lo que estoy haciendo, con los discos $D_g$ sirviendo como $0$ -manijas. La fijación de las asas se hace de forma inductiva: Comienza escogiendo un disco $D_{g_1}$ estabilizado por $g_1$ y conectarlo por medio de asas de 1 a $p$ otros discos que pertenecen a un $g_1$ -órbita de algún otro disco $D_{g_2}$ . Luego, continúe de forma inductiva. Hay que tener un poco de cuidado con la orientación: Fijar la orientación en cada disco $D_g$ de antemano y coloque las asas de 1 mano respetando esta orientación. En cada paso, el número de componentes conectados disminuye, por lo que el proceso termina finalmente en una superficie orientada compacta $Y$ con límite equipado con un $G$ -acción. Por último, se adjuntan (equitativamente) 2 asas (es decir, 2 discos) a las componentes de frontera de $Y$ para obtener su superficie $Z$ .

Answer 2

He encontrado el siguiente documento que define lo que estoy buscando como una acción de grupo puramente no libre:

https://link.springer.com/article/10.1007/s00013-017-1068-6

Contiene una construcción y un límite inferior para el género.

Como cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano, el Teorema 3.4 del artículo anterior da como resultado que el género mínimo de un grupo no cíclico de este tipo es $p(p^2-2p-1)/2+1$ .