Mostrando que esto es un grupo bajo la multiplicación de matrices

Question

Necesito demostrar que $P=\left\{A\in M_2(\mathbb{R})\mid A^TXA = X\right\}$ es un grupo bajo la multiplicación de matrices.

Answer 1

Clausura: Sea $A, B \in P$, entonces:

$$(AB)^T X(AB) = B^TA^TXAB = B^T(A^TXA)B = B^TXB=X$$

Por lo tanto, tenemos que $(AB) \in P$.

Inverso: Primero observamos que $X$ es invertible ya que $\det(X) = 3 \times 1 - 1 \times 1 = 2 \not= 0$. Ahora supongamos que $A \in P$, entonces tenemos:

$$\det(A^TXA) = \det(X) \implies \det(A^T) \det(X) \det(A) = \det(X) \implies \det(A^T) \det(A) = 1$$

Dado que $\det(A^T) = \det(A)$, tenemos que $\det(A) \not= 0$, es decir, $A$ es invertible (existe $A^{-1}$).

Además, $A^{-1} \in P$ ya que: $$A^TXA = X \implies X = (A^T)^{-1}XA^{-1} \implies X = (A^{-1})^TXA^{-1}$$

Answer 2

Para el cierre: $(AB)^T X AB = B^T A^T X AB = B^T X B = X$.

Para inversas, nota que $\det(X) \neq 0$ y por lo tanto $\det(A^T X A) = \det(A^T) \det (X) \det(A) \neq 0$ y por lo tanto $A$ es invertible y así $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$.

Utiliza esto para mostrar que $A^{-1} \in P$.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Pista: Para el cierre, te sugeriría no resolver las cosas explícitamente, sino usar el hecho de que $(AB)^T=B^TA^T$. Para la inversa, puedes usar la misma propiedad.