En la escuela secundaria técnica a la que asisto, el instructor dijo que la causa de la resonancia es que las energías aumentan de manera diferente.
La energía cinética aumenta de forma cuadrática y potencial lineal, por lo que la amplitud de la oscilación lo compensa.
El instructor también es un técnico, por lo que honestamente admitió que acaba de memorizar esa frase.
¿Cuál es el significado de este? ¿De qué manera compensa la amplitud?
¿Es esta la razón detrás de la resonancia?
Así resonancia requiere de tres cosas:
Dadas estas tres características, la cantidad de energía que termina en el sistema puede ser muy diferente dependiendo de la comparación entre algunos derivados de la frecuencia, y la fuerza motriz. Esto sucede porque las oscilaciones de sobreponer.
Realmente un muy buen ejemplo, si usted puede encontrar uno, es un Slinky. Usted puede sostener un extremo de su mano y dejar que el otro extremo cuelgan libremente en el espacio abierto. Es un oscilador, la fricción con el aire y la calefacción debido a la interna de deformación y, finalmente, la auto-colisión proporciona la disipación. Usted puede conducir moviendo la mano arriba y abajo de 1cm, para ver lo grande de una oscilación que puede crear en el libre colgando del borde.
Usted puede conducir muy rápido pequeñas vibraciones, moviendo la mano arriba y abajo tan rápido como sea posible que 1cm, y verás que la parte inferior de la slinky batidos ruidosamente pero la mayoría se queda en el mismo lugar. Cada pulso tarda un cierto tiempo de viaje de los slinky y, a continuación, volver a ti, te están disparando a muchos pequeños pulsos en el slinky antes de que cualquiera de ellos vienen de vuelta.
Usted puede en el otro lado de la unidad con las vibraciones que son tan despacio como sea posible, moviendo la mano arriba y abajo de la 1cm sobre el curso de muchos segundos o incluso minutos. Usted notará que el borde inferior de la slinky en su mayoría sólo sigue el movimiento de la parte superior de su mano. El pulso es tan grande que ocupe todo el slinky a la vez.
Pero en algún lugar en el medio entre estos dos, el pulso que tiene "poner" es en cierto sentido un "regreso" en el momento justo para que su siguiente pulso añade directamente a la siguiente. Cuando usted encuentra esta frecuencia, este pequeño movimiento de tan sólo 1 cm empieza a construir con cada movimiento: en primer lugar, es de 1 cm, entonces es de 2 cm, entonces es de 3cm, hasta que de pronto el resorte se mueve hacia arriba por 50 cm o más, estrellándose contra sí mismo, tal como viene superior. Y eso es lo que la resonancia se ve como: una pequeña fuerza impulsora almacena una tremenda energía en el sistema.
Alguna vez han oscilado en un columpios? Esto es en realidad exactamente lo mismo!
Si usted acaba de dejar de balanceándose sobre una columpios, va a oscilar y el arrastre de aire y la fricción de las cadenas eventualmente llevar a un alto. La mayoría de las personas intencionalmente parada antes de esto mediante el aumento de su disipación-ponen sus pies en el suelo.
Pero lo que la gente casi nunca intentar es utilizar el swing fuera de resonancia. Seguir adelante y probar un poco de tiempo, trate de ir hacia adelante y hacia atrás más rápido de lo que lo haría normalmente. Usted debe encontrar que la razón por la que nunca hacer esto es que nunca llegas a ningún lugar. Mismo si usted va demasiado lento, el swing, no los reconoce. Pero a medida que se acercan a la derecha de la frecuencia de desplazamiento hacia atrás y hacia delante, de empezar a empujar el swing hacia delante mientras se va hacia adelante, y empujándolo hacia atrás mientras se va hacia atrás. Y que es enorme.
La razón por la que es enorme, se reduce a algo que se llama el trabajo-el teorema de la energía. Esto nos dice que la energía energía cinética por unidad de tiempo-agrega a un sistema depende de un vector de "producto escalar" entre la fuerza y la velocidad, $$P = F~v~\cos\theta$$ where $\theta$ is the angle between the force and the velocity. If you push in the same direction as velocity, then $\cos\theta = 1$ and you add kinetic energy to the system. If you push against velocity, then $\cos\theta = -1$ y que se retire.
Por lo tanto la energía en los columpios en diferentes humana-movimiento-frecuencias depende de dos cosas:
Debido a la disipación aumenta a medida que usted tiene más energía, estos llegan a un cierto punto de equilibrio se llama un equilibrio. Estas situaciones son muy comunes en la física; otro ejemplo sería si hay una obstrucción en el desagüe, si luego ejecutar el grifo a una temperatura constante de ritmo lento, el fregadero se llenará hasta que la presión en la parte inferior empuja el agua hacia fuera de la obstrucción como es que fluye desde la parte superior. En realidad, muchos de alto perfil de los físicos parecen tener la misma historia, que su primer desconcierto en la física involucrada agua va cuesta abajo, donde se infantilmente pensaba que sólo podía detenerlo mediante la colocación de un objeto en su camino, sólo para estar muy sorprendido cuando el agua comenzó a acumular detrás del obstáculo hasta que el flujo sobre o alrededor de él y seguir su camino, feliz, como aguas abajo. El equilibrio!
Ahora, si usted está en un gran técnico de la escuela secundaria, usted puede ser que sepa un poco más en la técnica como de derivados y de los números complejos. Déjame adivinar que tal vez usted y le dará un poco más de matemáticas vista de estos tipos de sistemas.
La absoluta lugar más fácil para ver estas declaraciones en una verdadera ecuación es una ecuación diferencial que contiene los elementos básicos de arrastre lineal, armónica respuesta, y obligando, $$\ddot x(t) + 2 \lambda \dot x(t) + \Omega^2 x(t) = e^{is t}.$$ The first term is if you like an acceleration for a unit mass; it is a second time derivative of some function $x(t)$. The third term complements it with a restoring force, and if those two terms were all, the system would oscillate like $\cos(\Omega t)$ or so. The term between them adds the drag force, at the level that bacteria and other small things experience, an $|F| \propto |v|$ drag-us big creatures in air actually typically see an $|F| \propto |v|^2$ arrastre, pero esto es más fácil de resolver.
Por último tenemos la obligando a plazo, que estoy escribiendo como el complejo de oscilación $e^{ist}$ variable $s$. No hay nada en la teoría de malo con el uso de los números reales y $\cos(st)$ si usted no se siente cómodo con estos todavía, pero uno tiene que, a continuación, hacer un montón de trabajo con senos y cosenos para obtener las mismas respuestas básicas y como uno se vuelve más y más de un físico que uno se vuelve más y más perezosos.
Dada esta ecuación, es claro que una solución particular $x(t) = A e^{is t}$ va a trabajar, pero sólo si $A$ es muy particular número complejo: $$ Un (-s^2) e^{ist} + 2 i \lambda s e^{ist} + \Omega^2 e^{ist} = e^{ist}\\ A = \frac{1} {s^2 + 2 i \lambda s + \Omega^2}.$$(This is only one solution out of many, but the general solution just adds some terms that exponentially decay to zero due to this loss term $\lambda$ so that this $e^{t}$ plazo es la única de larga duración plazo. De la búsqueda para "overdamping" para ver los detalles de estos decaimientos trabajado).
El cuadrado de la magnitud de la resultante de la onda en general tiene que ver con la energía almacenada en el resonador y depende de la frecuencia del resonador como $$|A|^2 = \frac1{(\Omega^2 - s^2)^2 + 4 \lambda^2 s^2}$$This attains its maximum at a very particular frequency, $s^2 = \Omega^2 - 2 \lambda^2$ or so. In other words it's not quite the resonant frequency of the oscillator $\Omega$ but it is close by, shifted by the loss parameter $\lambda^2/\Omega$ o tan lejos.
En mi opinión, el instructor no tiene la comprensión en profundidad de resonancia, como se mencionó en su declaración de mera memorización de una declaración del autor de que él estaba usando. La energía cinética aumenta cuadráticamente y la energía potencial aumenta de forma lineal, sino que ambas formas de energía crece monotónicamente, lo que significa que no hay nada cíclico acerca de ellos.
La resonancia a ocurrir, usted necesita para interactuar con un proceso cíclico, que generalmente se modela con una función seno. En su interacción con el proceso cíclico, su adición de energía para que el proceso debe estar en fase con el proceso, de tal manera que cada vez que usted interactúa con él, aumenta la amplitud de la onda sinusoidal con la que se describe.
Para un ejemplo concreto de esto, considerar que un niño que está en el patio de recreo, y está sentado en un columpio (una forma de péndulo). Él (o ella) quiere ir más alto en el columpio y le pide que lo empuje. Como el swing comienza oscila alrededor de su punto de equilibrio (el punto más cercano a la tierra), usted tiene que decidir cuándo empujar. Si usted empuje en el punto de equilibrio como el swing se acerque a usted, se le resta la energía de la oscilación, y el niño va a experimentar una menor amplitud de la oscilación. Si usted empuje en el punto de equilibrio a medida que el niño va lejos de usted, usted va a agregar algo a la amplitud de la oscilación, pero este no es el punto óptimo para empujar. Si usted empujar a medida que el niño está en el punto más alto y comienza a caer hacia abajo, usted estará en fase con el swing, y se le añade la cantidad máxima de su empuje a la amplitud de la oscilación en ese punto. Como resultado, el niño rápidamente ir más y más alto debido a su interacción con el swing está en fase con ella, y como resultado, estamos viendo un ejemplo de resonancia.
Todos los dispositivos mecánicos tienen frecuencias que les gusta a vibrar. Si agrega cíclico de la energía de estos sistemas en esa frecuencia, ellos vibran en fase con la frecuencia en cada vez de mayor amplitud hasta que se venga abajo, como lo demuestra el vídeo que se refiere por StudyStudy (El Puente de Tacoma Narrows colapso: ver https://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw).
Es muy importante aprender acerca de la variación de fase de la respuesta a través de la resonancia - siento que no suele ser apreciado cuando se enfrentan a osciladores armónicos por primera vez.
Aquí está la ecuación de movimiento para el desplazamiento de un motor de oscilador armónico:
$ m\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + kx = F(t)$
donde los tres términos en el lado izquierdo representa la inercia plazo, la amortiguación de plazo, y el potencial de plazo, respectivamente, y el lado derecho representa la conducción plazo. Y vamos a suponer que la unidad de frecuencia única: $F(t) = F e^{-i\omega t}$. En estado estacionario, el sistema también oscila a la misma frecuencia, pero posiblemente con algún cambio de fase, de modo que $x(t) = X e^{-i\omega t}$ ($X$ es un número complejo de dólares). Entonces tenemos
$ (-m\omega^2 -2i\gamma \omega + k)X = F$
o
$ X = F/(\omega_0^2 - \omega^2 - 2i\gamma\omega)$
donde $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ es la frecuencia de resonancia.
Cuando el oscilador está impulsado, el potencial plazo (si el oscilador está hecho de una masa conectada a la primavera, que es la fuente de energía) está en fase con la conducción. La inercia plazo (relacionados con la energía cinética) es de 180 grados fuera de fase con la conducción. Cuando la frecuencia está por debajo de la frecuencia de resonancia, el oscilador oscila a la frecuencia de conducción en fase (potencial término domina la inercia plazo). Cuando la frecuencia de conducción está muy por encima de la frecuencia de resonancia, el oscilador oscila fuera de fase (imagen de sí mismo sacudir a un péndulo demasiado duro). En resonancia, en fase y fuera de fase términos cancelar. Con una pequeña amortiguación plazo (que todos los osciladores tienen), el sistema oscila con una frecuencia de 90 grados fuera de fase con respecto a la conducción plazo en estado estacionario.
En realidad, es una descripción bastante buena de la aparición de la resonancia si estás viendo la resonancia en un osciloscopio - teniendo en cuenta que en la resonancia, hay una gran pico estrecho.
En la resonancia, la oscilación forzada es el bombeo de energía en la oscilación natural del objeto que resulta en más y más amplitud de las oscilaciones suponiendo que no hay suficiente energía.
En ciertos casos, es posible que las resonancias de volar objetos. Google, por ejemplo, para el Puente de Tacoma Narrows para un ejemplo dramático.
Pero en la TV, radio, teléfono celular, wi-fi, dispositivos bluetooth, etc., sólo funcionará correctamente si el dispositivo está sintonizado a una potencia baja resonancia.
La razón de resonancia es que la transferencia de potencia a su sistema oscilante se maximiza cuando la fuerza motriz y la velocidad de fase.
La energía transferida es el producto de la conducción de la fuerza y de la velocidad; ambos son sinusoidalmente diferentes términos con un arbitrario diferencia de fase entre ellos. Si se multiplican los dos términos sinusoidales juntos (la fuerza y la velocidad), con una diferencia de fase entre ellas, entonces el producto tiene su valor máximo promedio al que la diferencia de fase es igual a cero y un valor mínimo cuando la diferencia de fase es $\pm \pi/2$.
La resonancia se produce cuando usted hace la diferencia de fase cero.
Matemáticamente, con una fuerza impulsora $F_0 \sin \omega t$, entonces el desplazamiento $x \propto \sin(\omega t + \phi)$, donde la diferencia de fase $\phi$ está dado por $$ \phi = \tan^{-1}\left(\dfrac{-\gamma \omega}{\omega_0^{2} - \omega^{2}}\right),$$ donde $\gamma$ es el coeficiente de amortiguamiento y $\omega_0$ es la frecuencia natural del oscilador.
Usted puede ver que cuando la $\omega = \omega_0$ la diferencia de fase entre el desplazamiento y la fuerza es $-\pi/2$. Pero si usted diferenciar el desplazamiento para obtener la velocidad de $$v \propto \cos(\omega t + \phi) = \sin(\omega t + \phi +\pi/2)$$ y así, cuando $\omega =\omega_0$ la diferencia de fase entre la velocidad y la fuerza es cero.
Si la transferencia de energía se maximiza, entonces esto también es por qué la amplitud se hace más grande, ya que la velocidad de amplitud también aumenta con la amplitud del desplazamiento.
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