Dados los vectores de probabilidad $x$ y $y$ ¿cómo puedo calcular el vector de probabilidad de $z = x + y$ utilizando operaciones de álgebra lineal

Question

Tengo el vector de probabilidad $t_1$ (horas para conseguir ' $A$ ' hecho), $p({t^{a}_{1})} = [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]$ (aquí: $0.25$ probabilidad para $A$ hecho en $1, 2, 3$ o $4$ horas).

Otro vector de probabilidad $t_2$ (horas para conseguir ' $B$ ' hecho), $p({t^{b}_{2})} = [0.33, 0.33, 0.33]$ .

Cómo puedo llegar al vector de probabilidad $p({t^{a}_{1}+t^{b}_{2}))}$ (horas para conseguir ambos $A$ y $B$ hecho asumiendo que sólo se pueden hacer uno tras otro y las distribuciones son independientes) utilizando operaciones de álgebra lineal ?

p.d: Estoy buscando la solución algebraica lineal y sospecho que puede haber una solución a través de la cadena de markov, etc.

Answer 1

No se necesitan cadenas de Markov. Lo que necesitas es Convolución (discreta) .

Aunque la convolución es lineal (en ambos argumentos), no se encuentra entre las operaciones "habituales" del álgebra lineal. Por ejemplo, se tiene una longitud $4$ y un vector de longitud $3$ como las dos entradas, y sin embargo el resultado debe ser un vector de longitud $7$ vectorial. Ninguna de las operaciones de álgebra lineal "habituales" lo haría... Estoy seguro de que se puede escribir en términos de las operaciones habituales de álgebra lineal, incluyendo el uso de matrices de bloque, pero será específico para los tamaños involucrados, y muy tedioso, y francamente un poco inútil.

Es posible mapear una convolución en una multiplicación después de una transformación adecuada (por ejemplo, la transformación Z), pero eso tampoco parece ser lo que quieres.

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ADDENDUM

Sean los dos vectores $a = [a_1, a_2, a_3, a_4]$ y $b = [b_1, b_2, b_3]$ donde $a_j =$ probablemente ese trabajo $A$ toma $j$ horas, etc. Forme este producto exterior (ignore el color por ahora):

$$C =a^T b = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \color{red}{a_1 b_3} \\ a_2 b_1 & \color{red}{a_2 b_2} & a_2 b_3 \\ \color{red}{a_3 b_1} & a_3 b_2 & a_3 b_3 \\ a_4 b_1 & a_4 b_2 & a_4 b_3 \end{pmatrix}$$

Entonces, si te entiendo bien, quieres un vector $f = [...f_k...]$ donde $f_k =$ probabilidad de que ambos trabajos (realizados secuencialmente) tomen $k$ horas en total. Esto significa que $f_k = \sum_{i+j = k} a_i b_j$ y, por ejemplo $f_4 = a_3 b_1 + a_2 b_2 + a_1 b_3$ que, como se puede ver, es la suma de las entradas en el $\color{red}{red}$ diagonal. Cada uno de los diferentes $k$ (de $2$ a $7$ ) es la suma de otra diagonal. Por desgracia para ti, no hay ninguna operación estándar de álgebra lineal que tome una $4 \times 3$ y devuelve una matriz de longitud $6$ vector de las sumas de sus $+45^\circ$ diagonales. Lo que pides es exactamente la convolución.

(Por cierto, sospecho que podría añadir un $0$ al frente para representar la imposibilidad de hacer los dos trabajos en $1$ hora)

Answer 2

Lo que quieres es una suma de matrices que no es muy conocida pero que es una solución perfectamente válida para tu problema. No lo encontrará, por ejemplo, en el artículo de Wikipedia sobre Adición de la matriz . Tendría el siguiente aspecto

$$z=\begin{pmatrix} x_1+y_1 & x_1+y_2 & \cdots & x_1+y_n \\ x_2+y_1 & x_2+y_2 & \cdots & x_2+y_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_m+y_1 & x_m+y_2 & \cdots & x_m+y_n \end{pmatrix}$$

Un examen minucioso de esto revelará que es muy parecido al Producto Kronecker aunque con la suma en lugar de la multiplicación. Suponiendo que $x$ y $y$ se dan como vectores columna, yo lo escribiría como

$$z=x\oplus y^T$$

Probablemente me pisoteen por usar el $\oplus$ pero ya se utiliza para dos adiciones matriciales diferentes.

Yo llamo a esto el Gazal $\acute{e}$ suma en honor al autor del que obtuve la idea originalmente. (Véase Gazal $\acute{e}$ , Gnomon: De los faraones a los fractales (en inglés, Princeton University Press, 1999). Se refiere a esto como el producto de Kronceker con respecto a la adición . He utilizado mucho esta matriz en problemas en los que tengo dos conjuntos de datos, como la búsqueda del par de puntos más cercano. Lo he programado tomando un algoritmo de producto de Kronecker y cambiando un único ' $\times$ ' a ' $+$ '. Esto también funcionará si $x$ y/o $y$ se dan como matrices, en lugar de vectores.