¿Cómo se definen los conjuntos en las matemáticas inversas?

Question

Actualmente estoy leyendo "Subsystems of second order arithmetic" de Simpson, que creo que es la referencia definitiva en matemáticas inversas, después de haber completado (más bien ojeado) "Reverse Mathematics" de Stillwell. Sin embargo, estoy teniendo algunos problemas para seguir sus fundamentos y su enfoque de la teoría de conjuntos.

Después de algunas observaciones (ligeramente impar) sobre la distinción entre lo que él llama matemáticas teóricas de conjuntos y no teóricas de conjuntos (o ordinarias), afirma

En este libro queremos limitar nuestra atención a lo ordinario, matemáticas no teóricas. La razón de esta restricción es que los axiomas de existencia de conjuntos que se necesitan para la matemática teórica de conjuntos matemática teórica de conjuntos son probablemente mucho más fuertes que los que se necesitan para la matemática ordinaria.

lo que es cierto a la luz del enfoque que va a adoptar para distinguir los diferentes sistemas axiomáticos. Pero, justo después, empieza a hablar de conjuntos, variables de conjuntos, membresías de conjuntos, el conjunto de números naturales, etc. sin dar una construcción ni explicar cómo se supone que funcionan, ya que obviamente esto no puede ser ZF.

La cuestión es cómo podemos formalizar esta idea de los conjuntos y sus propiedades sin darles demasiado poder como para no poder crear diferentes sistemas axiomáticos que no sean equivalentes. Mi apuesta es que ZF sin el axioma de especificación (y posiblemente de sustitución, pero podría estar totalmente equivocado sobre esto) debería ser suficiente, ya que entonces podemos añadir los axiomas de comprensión adecuados sin que sean ya "verdaderos" por la axiomática de la teoría de conjuntos, pero no he encontrado ninguna discusión sobre este tema.

Answer 1

La respuesta está en el nombre del libro.

El sistema descrito es equivalente a un teoría de segundo orden (monádica) utilizando la semántica de Henkin.

En lugar de hablar de "conjuntos", Simpson podría haber hablado de variables de predicado (lo que sería mejor en mi opinión...) Usando mayúsculas para referirse a las variables de predicado y minúsculas para referirse a las variables numéricas para desambiguar, Simpson podría haber escrito la comprensión, digamos, como: $$\exists P.\forall n.P(n)\leftrightarrow \varphi(n)$$ donde $\varphi$ es una fórmula que no contiene $P$ libremente. Está claro qué operaciones se pueden realizar con las variables de predicado. En concreto, dada una variable de predicado $P$ Lo único que puedes hacer con él es aplicarlo a un término numérico. No hay necesidad de proporcionar una "construcción" de estos más de lo que hay una necesidad de proporcionar una "construcción" de las variables "número" (que Simpson también no hace).

Como es habitual en una lógica, Simpson proporciona un semántica que interpreta esta sintaxis formal en términos de teoría de conjuntos. En esta semántica, usted consiguen elegir a qué se refieren las variables "número" eligiendo el dominio semántico que podría no tener nada que ver con los números naturales. La cuestión sigue siendo cómo interpretar las variables de predicado. Las opciones comunes son la semántica de Henkin y la semántica completa (o estándar). En ambas semánticas, interpretamos las variables de predicado como subconjuntos del dominio y $P(n)$ Por ejemplo, si la interpretación de $n$ es un miembro de la interpretación de $P$ . La diferencia entre la semántica de Henkin y la semántica completa es simplemente si se puede elegir qué subconjuntos son interpretaciones permitidas para las variables de predicado (semántica de Henkin), o si cualquier subconjunto del dominio siempre está permitido (semántica completa). En otras palabras, para la semántica de Henkin se selecciona un subconjunto $\mathcal S\subseteq \mathcal P(D)$ donde $D$ es el dominio (para las variables "número"), y para la semántica completa requerimos $\mathcal S = \mathcal P(D)$ .

Esta interpretación más lógica deja más claro que los "conjuntos" de $Z_2$ no tienen nada que ver a priori con los conjuntos de la teoría de conjuntos, al igual que los "números" no tienen ninguna relación a priori con los números naturales. La semántica la relaciona con la teoría de conjuntos, pero podríamos utilizar otra semántica, como la semántica categórica, que no interpreta las cosas como (sub)conjuntos, o podríamos evitar por completo la semántica y trabajar únicamente con la teoría de la prueba.

Answer 2

No estoy seguro de haber entendido bien su pregunta, pero permítame intentarlo :

La versión corta es que podemos desarrollar RCA $_0$ (y cualquier otra teoría, para el caso) de forma totalmente "autónoma", al menos en lo que se refiere al formalismo, del mismo modo que se desarrolla la propia ZF.

---

Usted escribe:

Pero, justo después, empieza a hablar de conjuntos, variables de conjuntos, membresías de conjuntos, el conjunto de números naturales, etc. sin dar una construcción o explicar cómo se supone que funcionan.

La evolución es exactamente paralela a la de ZF. Comenzamos con $(i)$ una sintaxis formal y $(ii)$ un en semántica formal, donde se habla de conjuntos, elementos, etc.; entonces $(iii)$ escribir una teoría formal en nuestra sintaxis destinada a capturar (más o menos) esas intuiciones. Sólo pasos $(i)$ y $(iii)$ son realmente necesarios ; paso $(ii)$ es "sólo" proporcionar motivación e intuición. Obsérvese que, al establecer ZF, utilizamos la palabra "conjunto" sin ningún sistema formal que lo defina, es decir, la utilizamos como un indicador intuitivo y no como un término técnico.

Las matemáticas inversas se desarrollan de forma similar. Así como "conjunto" y "elemento de" son términos primitivos en ZF, RCA $_0$ (y sistemas similares) tienen como términos indefinidos "número natural", "conjunto (de números naturales)", "más", "veces" y "elemento de". Entramos con varias intuiciones sobre cómo deberían comportarse, y luego escribimos un conjunto específico de axiomas que forman RCA $_0$ .

Esto nos lleva al punto en el que argumentas que deberíamos tener una "teoría de conjuntos ambiental".

ya que entonces podemos añadir los axiomas de comprensión adecuados sin que sean ya "verdaderos" por la axiomática de la teoría de conjuntos.

Creo que lo que ocurre aquí es que estás objetando la decisión de incluir una frase como axioma del ACR $_0$ sin mostrar primero que es verdadera según algún sistema más amplio. Pero la teoría es autónoma - no necesitamos apelar a nada más que a la intuición cuando establecemos la RCA $_0$ que cuando se puso en marcha el ZF. Esto no quiere decir que una teoría de conjuntos ambiental nunca sea útil, sino que no es necesaria para el desarrollo de las matemáticas inversas.