Estamos ante la existencia de
$k \in \ker f \setminus M; \tag 1$
vamos
$\langle M, k \rangle \le G \tag 2$
ser el más pequeño, con respecto a la inclusión del conjunto, subgrupo de $G$ contiene tanto $M$ e $k$; $\langle M, k \rangle$ es, evidentemente, el subgrupo de $G$ generado por los elementos de la $M$ e $k$, en el sentido de que todos los $p \in \langle M, k \rangle$ puede ser escrito como un producto
$p = \displaystyle \prod_1^n p_i, \; n \in \Bbb N, \tag 3$
donde $p_i \in M$ o $p_i = k^m$, $m \in \Bbb Z$, $1 \le i \le n$. Otra forma de describir el $\langle M, k \rangle$ es como el conjunto de productos
$p = \displaystyle \prod_1^n p_i, \; p_i \in M \cup \langle k \rangle, \; 1 \le i \le n; \tag 4$
es decir, el $p \in \langle M, k \rangle$ son generados por tomar arbitraria finito productos desde el set $M \cup \langle k \rangle$. Es fácil ver que el conjunto de $\langle M, k \rangle$ de todos los $p$ es cerrado bajo la multiplicación dada en $G$, que contiene la identidad de $e$ de $G$ (sólo tomar todas las $p_i = e_G$, la identidad de $G$), y que
$p^{-1} = \displaystyle \prod_0^{n - 1} p_{n - i}^{-1} \in \langle M, k \rangle; \tag 5$
de ello se sigue, a continuación, en virtud de (1) $\langle M, k \rangle$ es en sí mismo un grupo y que
$M \subsetneq \langle M, k \rangle \le G. \tag 6$
Ahora desde $M$ es un subgrupo maximal de a$G$, estamos, de hecho, debe tener
$\langle M, k \rangle = G, \tag 7$
porque contiene $M$ (6). Por lo tanto todos los $g \in G$ puede expresarse como un producto de la forma (3), de donde
$f(g) = f \left ( \displaystyle \prod_1^n p_i \right ) = \displaystyle \prod_1^n f(p_i) \in f(M), \tag 8$
desde $p_i \in M$ o $p_i \in \langle k \rangle$, $1 \le i \le n$; en el primer caso, $f(p_i) \in M$; en el segundo, $f(p_i) = e_H$ la identidad de $H$, desde el $\langle k \rangle \le \ker f$; desde $f(g) \in f(M)$ por cada $g \in G$, llegamos a la conclusión de que
$H = f(G) \subset f(M) \subset f(G) = H, \tag 9$
y así
$f(M) = H \tag{10}$
como se requiere. $OE\Delta$.
