Necesito encontrar el grupo de homología de $$ X=l_1 \cup l_2 \cup ... \cup l_n \ \ \subset \mathbb{CP}^2 $$ where $ l_i $ son líneas proyectivas distintas. Creo que esta es la suma directa de los grupos de homología de cada línea proyectiva, pero todavía no estoy seguro. Estoy en lo cierto?
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Soumik Ghosh
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Primero vamos a ver lo que es la intersección de dos líneas proyectivas. Decir que hemos
$$l_i= \{[z_1:z_2:z_3] \in \mathbb C \mathbb P^2: a^i_1z_1 +a_2^iz_2+a^i_3z_3=0 \} , \ i=1(1)n$$
A partir de aquí es más o menos claro que $l_i \cap l_j$ es un punto en $\mathbb C \mathbb P^2 \ \forall i\neq j$
Ahora vamos a ver lo que sucede cuando usted toma $n=2$ es decir, sólo tiene $2$ proyectiva líneas.
A continuación, utilizando la relación de Meyer-Vietoris secuencia le da el largo de la secuencia exacta en la homología
$$...\rightarrow \tilde{H}_k(l_1\cap l_2)\rightarrow\tilde H_k(l_1)\oplus \tilde H_k(l_2)\rightarrow\tilde H_k(l_1\cup l_2)\rightarrow \tilde H_{k-1}(l_1\cap l_2)\rightarrow...$$
Pero $l_1\cap l_2\cong*$ y, por tanto, en la secuencia de arriba tenemos el primer y el último homología de grupos se $0$. Para la de en medio es un isomorfismo.
Así, por $n=2$ llegamos $\tilde H_k(l_1 \cup l_2)\cong \tilde H_k(\mathbb C\mathbb P^1) \oplus\tilde H_k(\mathbb C\mathbb P^1)$
Ahora para general el uso de la inducción. Como antes hemos por la relativa Meyer-Vietoris secuencia de una larga secuencia exacta de la siguiente manera
$$...\rightarrow \tilde{H}_k(\cup_{i=1}^{n-1}l_i\bigcap l_n)\rightarrow\tilde H_k(\cup_{i=1}^{n-1}l_i)\oplus \tilde H_k(l_n)\rightarrow\tilde H_k(\cup_{i=1}^{n-1}l_i\bigcup l_n)\rightarrow \tilde H_{k-1}(\cup_{i=1}^{n-1}l_i\bigcap l_n)\rightarrow...$$.
Ahora $\cup_{i=1}^{n-1}l_i\bigcap l_n$ es sólo un conjunto finito de puntos y por lo tanto tienen relación de homología de grupos de todas las $0$. Para la de en medio es un isomorfismo y tiene por inducción
$$\tilde H_k (\bigcup_{i=1}^{n}l_i)\cong\bigoplus_{i=1}^n\tilde H_k(\mathbb C\mathbb P^1)$$
