¿Qué hace $(dy)(x, \Delta x)$ ¿quieres decir?

Question

Estoy leyendo ecuaciones diferenciales ordinarias de un libro que dice

Por lo tanto, $dy = f'(x) \Delta x$ llamamos $dy$ el diferencial de $y$ . Como el diferencial $dy$ es una función de dos variables independientes $x$ y $\Delta x$ indicamos esta dependencia mediante $(dy)(x, \Delta x)$ .

Perdona, pero ¿qué demonios es esto? Va más allá al decir

El diferencial de $y$ , escrito como $dy$ (o $df$ ) se define por $$(dy)(x, \Delta x) = f'(x) \Delta x$$

Y ahora estoy completamente confundido. ¿Debemos definir $dy$ ¿dos veces? ¿O qué es $(dy)(x, \Delta x)$ ? ¿Es un tipo de relación como dice "escribimos una dependencia de esta manera", por lo que es una relación en términos de teoría de conjuntos? ¿Qué es exactamente?

¿Por qué? $dy$ y $(dy)(x, \Delta x)$ ¿tienen las mismas definiciones? ¿Podemos decir que $dy = (dy)(x, \Delta x)$ ¿entonces? Si es así, ¿qué sentido tiene este lío? Gracias si has leído hasta aquí y te agradeceré más si me ayudas a entender lo que me falta.

Answer 1

$$dy(x,\Delta x):= dy(x)(\Delta x)=y'(x)\Delta x.$$

$dy(x)$ es una aplicación lineal: es la aproximación lineal de $y$ en un barrio de $x$ es decir $dy(x):\mathbb R\to \mathbb R$ si se define por $$dy(x)(h):= y'(x)h.$$ Pero $h=x+h-x=:\Delta x$ , por lo que hay que ver $\Delta x$ como una "variable" (es decir, como la distancia de $x$ ), y denotamos $$dy(x,\Delta x):=dy(x)(\Delta x)=y'(x)\Delta x.$$

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Normalmente, escribimos $dy$ en lugar de $dy(x,\Delta x)$ .

Answer 2

Diga $y=e^{2x}$ . Entonces escribimos $dy = 2 e^{2x}\;dx$ . Esto muestra $dy$ en función de dos variables, a saber $x$ y $dx$ . Tal vez este autor escribió $\Delta x$ en lugar de $dx$ , esperando que esto reduzca la confusión...