¿Tiene todo conjunto nulo un superconjunto que sea un $F_{\sigma}$ ¿conjunto nulo?

Question

Sea $A$ sea un conjunto nulo de Lebesgue en $\mathbb R$ . ¿Podemos encontrar un conjunto $B$ con las siguientes propiedades:

1) $A \subset B$

2) $B$ tiene medida $0$

3) $B$ es un $F_{\sigma}$ conjunto (es decir, una unión contable de conjuntos cerrados).

Supongo que sí porque los conjuntos nulos que he visto se han construido a partir de conjuntos finitos o contables o del conjunto de Cantor.

Answer 1

La respuesta, quizá sorprendente, es no . Usted escribe

conjuntos nulos que he visto se han construido a partir de conjuntos finitos o contables o del conjunto de Cantor

Pero eso no agota en absoluto toda la variedad de los conjuntos nulos. Hay bastantes conjuntos nulos muy extraños, y uno de los ejemplos más importantes (y un contraejemplo a muchas afirmaciones aparentemente plausibles) es la existencia de un comeager conjunto nulo - es decir, un conjunto nulo cuyo complemento es la unión de un número contable de conjuntos densos en ninguna parte. A primera vista puede parecer imposible, pero existen, como el conjunto de todos los números no absolutamente normales.

(Véase, por ejemplo, el debate en esta pregunta MO . Básicamente, categoría y medir son completamente ortogonales, aunque ambas son "nociones de tamaño", y la interacción entre ambas (y otras nociones de tamaño) da lugar a una gran cantidad de análisis interesantes, topología y teoría descriptiva de conjuntos).

Por el Teorema de la categoría de Baire los conjuntos nulos comeager no pueden ser cubiertos "eficientemente" por $F_\sigma$ conjuntos. En concreto, la TDC implica que (en $\mathbb{R}$ ) escaso $G_\delta$ no son densos en ninguna parte, así que comeager $F_\sigma$ contienen intervalos y, por tanto, no son nulos. Así que cualquier comeager null $A$ da un contraejemplo a su conjetura.

Answer 2

Un conjunto cerrado de medida de Lebesgue cero tiene el interior vacío. Por tanto, una unión contable de tales conjuntos, un $F_\sigma$ de medida cero, es exigua (también llamada "primera categoría de Baire), y también lo son todos sus subconjuntos. Pero hay conjuntos nulos de Lebesgue que no son exiguos, por ejemplo el conjunto de los números en $[0,1]$ cuya expansión binaria no tiene asintóticamente la mitad de ceros y la mitad de unos (es decir, aquellos números cuyas expansiones binarias violan la ley fuerte de los grandes números).