Evaluar

Question

Evaluar: $$I=\iint_{[0,1]^2}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^{3/2}}.$$

El intento. Trabajando en la sustitución de $x=\sqrt{1+y^2}\,\sinh u$ tenemos $$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{(1+y^2)\sqrt{x^2+y^2+1}}\Bigg|_{0}^{1}\,dy=\int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{(1+y^2)\sqrt{2+y^2}}$$ and then working on $y=\sqrt{2}\,\bronceado u$ obtenemos: $$I=\arctan\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2}}\right)\bigg|_{0}^{1}=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.$$

Por otro lado, las coordenadas polares:

$$I=\int\limits_{0}^{\pi/4}\int\limits_{0}^{\frac{1}{\cos \phi}}\frac{r}{(1+r^2)^{3/2}}dr d\phi+\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{\sin \phi}}\frac{r}{(1+r^2)^{3/2}}dr d\phi$$ lo que nos lleva a: $$I=\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(1-\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\right)d\phi+\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\left(1-\frac{\sin\phi}{\sqrt{1+\sin^2\phi}}\right)d\phi$$ y los cálculos que parecen difíciles de manejar.

Hay una manera más fácil abordar el cálculo de esta integral?

Gracias de antemano.

Answer 1

Primero, note que las dos integrales en la última línea son iguales. Simplemente sustituya $\phi=\frac{\pi}{2}-\varphi$ y vea. Por lo tanto

PS

PS

Answer 2

Aquí es una solución que se toma el problema en su inicio. Su idea de convertir a coordenadas polares y dividir la integración de dominio en dos triángulos $OAB$ e $OBC$ (con $A(1,0),B(1,1)$ e $C(0,1)$) es buena. Usted debe hacerlo a la vez. Uno obtiene :

$$I=\iint_{[0,1]^2}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^{3/2}}=I_1+I_2$$

donde

$$I_1=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}\int_{r=0}^{r=1/\cos{\theta}}\frac{1}{(1+r^2)^{3/2}}\color{red}{r}drd\theta=$$

y $I_2$ es de hecho igual a $I_1$ por un evidente simetría de la razón. (por favor, tenga en cuenta que $\color{red}{r}$ es el jacobiano de este cambio de variables). Por lo tanto :

$$I=2I_1=2\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}[-\frac{1}{(1+r^2)^{1/2}}]_{r=0}^{r=1/\cos(\theta)} d\theta$$

dar :

$$I=2\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}(1-\frac{1}{(1+(1/\cos(\theta)^2)^{1/2}})d\theta=2\left(\frac{\pi}{4}-\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}\frac{\cos(\theta)}{\sqrt{1+\cos(\theta)^2}}d\theta\right)$$

donde el resto de integral, se transformó en :

$$\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}\frac{\cos(\theta)}{\sqrt{2 -\sin(\theta)^2}}d\theta$$

es fácilmente integrado el uso de antiderivada :

$$\sin^{-1}\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(\theta)\right)$$

dando finalmente :

$$I=2(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{6}$$