¿Cómo encontrar el determinante de esta matriz? (Una matriz jacobiana de transformación esférica-cartesiana)

Question

Me encuentro con una pregunta determinante difícil como la siguiente:
$$ \text{Matrix A is given as:} $$ $$ A=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\theta}&\frac{\partial x}{\partial\phi}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial\theta}&\frac{\partial y}{\partial\phi}\\\frac{\partial z}{\partial r}&\frac{\partial z}{\partial\theta}&\frac{\partial z}{\partial\phi}\end{bmatrix} $$ $$ \text{where }x=r\sin\theta\cos\phi\text{, }y=r\sin\theta\sin\phi\text{, and }z=r\cos\theta.\text{ Find determinants }\det{(A)}\text{, }\det{(A^{-1})}\text{, and }\det{(A^2)}. $$ Intenté simplificarlo, pero sólo conseguí: $$ A=\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\\cos\theta&-r\sin\theta&0\end{bmatrix} $$ Como está conectado, también he buscado en Internet. Pero hasta ahora todo lo que sé es que se trata de una fórmula de transformación esférica-cartesiana utilizando la matriz jacobiana. (¿Tal vez podamos hacer un avance aquí?)
Sólo puedo resolver $\det{(A)}$ calculándolo directamente, $\det{(A)}=r^2\sin\theta$ .
Sin embargo, creo que sigue siendo difícil encontrar la matriz inversa, no hace falta decir el enorme cálculo para obtener $A^2$ . Como pienso, debe haber algunas formas de simplificarlo.
Podría alguien tener la amabilidad de enseñarme que si hay alguna forma de simplificar $A$ ¿para calcular el determinante? ¡Gracias!

Answer 1

Si fueras realmente inteligente (por ejemplo, si ya supieras la respuesta, o pensaras mucho en lo que representa un jacobiano en un sistema de coordenadas diferente), podrías calcular $\det(A)$ mediante la computación $\det(B)\det(A) = \det (BA)$ , donde $\det B$ fue particularmente fácil.

Recogiendo $$ B = \pmatrix{\cos \phi & \sin \phi & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi, & 0 \\ 0 & 0 & 1} $$ genera una matriz $BA$ cuya forma es bastante más sencilla que la de $A$ (no hay $\phi$ por ejemplo), mientras que $\det B$ es evidentemente $1$ .

Pero creo que la intención del autor de la pregunta aquí es que se supone que sólo tienes que hacer el álgebra y practicar la simplificación trigonométrica.

Answer 2

Utilizando el Regla de Sarrus , $$\begin{align} \det{(A)}&=(\sin{\theta}\cos{\phi})(r\cos{\theta}\sin{\phi})(0)\\ &\,\,\,+(\sin{\theta}\sin{\phi})(-r\sin{\theta})(-r\sin{\theta\sin{\phi}})\\ &\,\,\,+(\cos{\theta})(r\cos{\theta}\cos{\phi})(r\sin{\theta}\cos{\phi})\\ &\,\,\,-(-r\sin{\theta}\sin{\phi})(r\cos{\theta}\sin{\phi})(\cos{\theta})\\ &\,\,\,-(r\sin{\theta}\cos{\phi})(-r\sin{\theta})(\sin{\theta}\cos{\phi})\\ &\,\,\,-(0)(r\cos{\theta}\cos{\phi})(\sin{\theta}\sin{\phi})\\ &=0+r^2\sin^3{\theta}\sin^2{\phi}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}+r^2\sin{\theta}\sin^2{\phi}\cos^2{\theta}+r^2\sin^3{\theta}\cos^2{\phi}-0\\ &=r^2\sin^3{\theta}(\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi})+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}(\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi})\\ &=r^2\sin^3{\theta}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\\ &=r^2\sin{\theta}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\\ &\boxed{=r^2\sin{\theta}}\\ \end{align}$$ Ahora, para encontrar $\det{(A^{-1})}$ y $\det{(A^2)}$ podemos utilizar el hecho de que $\det{(AB)}=\det{(A)}\cdot\det{(B)}$ para conseguir $$\det{(I)}=\det{(AA^{-1})}=\det{(A)}\det{(A^{-1})}=r^2\sin{\theta}\det{(A^{-1})}=1$$ $$\therefore \det{(A^{-1})}=\frac{1}{r^2\sin{\theta}}$$ $$\det{(A^2)}=(\det{(A)})^2=(r^2\sin{\theta})^2=r^4\sin^2{\theta}$$