Dificultad para entender el corolario de la propiedad arquimediana.

Question

Pregunta

demostrar que$$\forall x \in R \exists n\in Z $$ such that $$n \leq x < n+1$$ (such $n$ es único)

Mi Intento de demostrar que dado en mi libro(ver el corolario 5) es muy breve.

No entiendo qué tiene que ver con Arquímedes de la propiedad. Como Arquímedes propiedad está establecida en la integridad prefiero intentar demostrar de que.

Considere la posibilidad de $A=\{m|m<x,\forall m\in R\}$ Ahora está delimitado por lo tanto sup existe(es decir$\alpha$. Así $\forall \epsilon>0 \exists a\in A$ tal que $$\alpha-\epsilon < a \leq \alpha $$ Pero tomando las $\epsilon=1$ no demostrar realmente la declaración requerida. Tenemos que mostrar que $\alpha$ e $\alpha-1$ a ser números enteros. Así que este enfoque ha fallado.

Mi libro de la prueba La prueba consta de dos partes

1)Para mostrar $x \geq n$

2) Para mostrar $n+1>x$

Se demuestra (1) con la construcción de un conjunto $$\{m:m<x,\forall m\in Z\}$$ and says that it is bounded above so it has suprema say $n,n\Z$ thus $x\geq$n.

2) probar Que (2) no dar ninguna explicación. Creo que se ha hecho uso de Arquímedes de la propiedad, es decir.

$\forall x\in R \exists m\in Z$ tal que $m>x$

Pero mi pregunta es cómo demostrar a $m=n+1$ ?

Necesito la siguiente ayuda

1) por Favor, usted puede escribir la segunda parte de la prueba se administra en mi libro un detallado o explicativas manera ?

2) quiero saber si mi enfoque era razonable o no.

Answer 1

Suponga $0 \leq x.$
Por el Archimedian de la propiedad, existe entero $n$ con $x < n$.
Como los números enteros no negativos son bien ordenados, existe al menos un entero$ k $con $x < k. $ Por lo tanto $k - 1 \leq x < k. $

Si $x < 0$, a continuación, $0 < -x$ y existe entero $k$ con $k - 1 \leq -x < k. $ Por lo tanto $-k < x \leq -k + 1. $ Si $x = 1 - k,$ entonces $1 - k \leq x < 2 - k. $ Si $x < 1 - k, then -k \leq x < 1 - k.$

1. Elemento de la lista

Answer 2

(1). El orden-la integridad de la $\Bbb R$ implica que $\forall x\in \Bbb R\,\exists n\in \Bbb Z^+\;(x< n).$

Prueba: Por contradicción, supongamos $x\in \Bbb R$ e $\forall n\in \Bbb Z^+ \,(x\ge n).$ Deje $U$ el conjunto de límites superiores para $\Bbb Z^+.$ cualquier $y\in U$ tenemos $\forall n\in \Bbb Z^+ \,( y\ge 2n),$ lo que implica $\forall n\in \Bbb Z^+\,(y/2\ge n),$ lo que implica $y/2 \in U.$ Pero $y\in U\implies y\ge 1> 0 \implies y>y/2\in U,$ lo $y\ne \min U.$

Es decir, el conjunto no vacío $\Bbb Z^+,$ que tiene un límite superior $x$, no tiene un mínimo (menos) límite superior. Esto se contradice con la integridad.

(2). Es inmediato a partir de (1) $\forall x\in \Bbb R\,\exists n\in \Bbb Z^+\,(x\le n).$

(3). Si $0\le x\in \Bbb R$ entonces por (1) y por el buen orden de $\Bbb Z^+$ que $\{n\in \Bbb Z^+: x<n\}$ tiene al menos un elemento de a$n_0.$ Desde $n_0> n_0-1\ge 0$ le tienen o $n_0-1=0\le x$ o (por la definición de $n_0$) que $n_0-1\in \Bbb Z^+$ e $x\ge n_0-1.$ En cualquiera de los casos tenemos $n_0-1\in \Bbb Z$ e $n_0-1\le x<n_0.$

(4). Si $0>x\in \Bbb R$ entonces $0<-x\in \Bbb R^+.$ (2) y por el buen orden de $\Bbb Z^+ ,$ el conjunto $\{n\in \Bbb Z^+: -x\le n\}$ tiene al menos un elemento de a$n_1.$ Desde $n_1>n_1-1\ge 0$ le tienen o $n_1-1=0<-x$ o (por la definición de $n_1$) que $n_1-1\in \Bbb Z^+$ e $-x>n_1-1.$ En cualquier caso tenemos $n_1-1<-x\le n_1 ,$ lo $-n_1-1\in \Bbb Z$ e $-n_1-1\le x< -n_1. $

Observaciones: En el orden del campo de $R$ la interacción entre el orden y la aritmética es (por definición) que $\forall x,y,z\in R\,(x>y\implies x+z>y+z)$ e $\forall x,y,z\in R\, ((x>y\land z>0)\implies xz>yz).$ Cualquier ordenó campo $R$ puede ser extendido a un mayor ordenó campo $R^*$ que tiene miembros que son más grandes que cualquier miembro de $R.$ Pero $R^*$ no puede ser el fin de completar. Y si $x\in R^*$ es mayor que todos los $r\in R$ entonces $0<1/x<s$ por cada $s\in R^+.$ la falta de una definición rigurosa de $\Bbb R$ resultó en cerca de 3 siglos de interminables debates de la época de Galileo (bien antes de Newton) a principios de los años 1800, acerca de infinitesimals ("indivisibles") entre los matemáticos, filósofos y teólogos.