Simetría en mecánica cuántica.

Question

Mi profesor nos dijo que en mecánica cuántica una transformación es una transformación de simetría si $$ UH(\psi) = HU(\psi) $ $

¿Me puede dar una explicación fácil para esta definición?

Answer 1

En un contexto como este, la simetría es una transformación que convierte las soluciones de la ecuación(s) de movimiento a otras soluciones de la ecuación(s) de la moción.

En este caso, la ecuación de movimiento es la ecuación de Schrödinger $$ i\manejadores\frac{d}{dt}\psi=H\psi. \etiqueta{1} $$ Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación (1) por $U$ conseguir $$ Interfaz de usuario\manejadores\frac{d}{dt}\psi=UH\psi. \etiqueta{2} $$ Si $UH=HU$ e $U$ es independiente del tiempo, entonces la ecuación (2) puede escribirse como $$ i\manejadores\frac{d}{dt}U\psi=HU\psi. \etiqueta{3} $$ el que dice que si $\psi$ resuelve la ecuación (1), entonces también lo hace $U\psi$, lo $U$ es una simetría.

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Para una definición más general de la simetría en QM, ver

La simetría de las transformaciones en un sistema cuántico; Definiciones

Answer 2

Lo que usted ha escrito no es nada, pero el colector. Considerar, por ejemplo, el tiempo de evolución de operador \begin{align*} U\left(t-t_{0}\right)=e^{-i\left(t-t_{0}\right) H} \end{align*} Si $\psi\left(\xi_{1}, \dots, \xi_{N} ; t_{0}\right)$ es la función de onda en el tiempo $t_0$ e $U(t−t0)$ es el tiempo de evolución operador que para todas las permutaciones $P$satisface $\left[U\left(t-t_{0}\right), P\right]=0$ luego también $$\left(P U\left(t-t_{0}\right) \psi\right)\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{N} ; t_{0}\right)=\left(U\left(t-t_{0}\right) P \psi\right)\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{N} ; t_{0}\right)$$ Esto significa que el permutada tiempo evolucionado de la función de onda es la misma que la del tiempo se convirtió permutada de la función de onda.

Otro ejemplo sería si usted se considera idéntico partículas. Un arbitrario observable $A$ debe ser el mismo en virtud de la permutación operador $P$ si uno tiene idéntico partículas. Esto es para decir: \begin{align*} [A, P]=0 \end{align*} para todos los $P\in S_N$ (en el grupo de permutación de $N$de las partículas).