En la historia de las matemáticas, ¿hay ejemplos notables de teoremas que hayan sido considerados primero como axiomas?
O bien, ¿hay algún enunciado que se haya considerado primero un axioma y que luego se haya demostrado que se deriva de otro(s) axioma(s), convirtiendo así el enunciado en un teorema?
El ejemplo más famoso que conozco es el del axioma II.4 de Hilbert para la ordenación lineal de los puntos de una recta, para la geometría euclidiana, demostrado como superfluo por E.H. Moore. Véase este artículo de la wikipedia, especialmente "Hilbert's discarded axiom". https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
En el artículo de Moore enlazado allí, se afirma que también el axioma I.4 es superfluo.
http://www.ams.org/journals/tran/1902-003-01/S0002-9947-1902-1500592-8/S0002-9947-1902-1500592-8.pdf
Fraenkel introdujo el esquema axiomático de sustitución en la teoría de conjuntos. Esto implicó el esquema axiomático de la comprensión, y permitió que los axiomas del conjunto vacío y del par desordenado se derivaran del axioma del infinito. (Nótese que la teoría de conjuntos de Zermelo incluye el axioma de elección, mientras que ZF no, por lo que Zermelo+reemplazo es ZFC). Los axiomas "eliminados" se enumeran normalmente cuando se describe ZF(C), en parte para que la gente se dé cuenta de que están en la teoría de conjuntos de Zermelo, en parte para facilitar las comparaciones con otras teorías de conjuntos de interés.
Sí, en todas partes. Lo que es un axioma de una teoría puede ser un teorema en otra.
El quinto postulado de Euclides puede sustituirse por la afirmación de que los ángulos del interior de cada triángulo suman $\pi$ radianes.
Otro ejemplo notable es el axioma de elección, que es equivalente en algunos sistemas axiomáticos al lema de Zorn.
También, ver este clip de Feynman .
Es un clip interesante (y me encanta el acento). Si he entendido bien, Feynman habla de axiomas que tienen relaciones bidireccionales; es decir, uno puede deducirse del otro y viceversa; o quizás, dos de tres axiomas cualesquiera pueden implicar al tercero. A mí me interesan más bien los casos de axiomas unidireccionales que se ha descubierto que se implican a partir de otro axioma o conjunto de axiomas.
Estos casos se consideran declaraciones alternativas del mismo axioma. Elige el que quieras como axioma y demuestra el otro. Si tienes un axioma que sospechas que es redundante, puedes encontrar una forma de demostrar uno de los enunciados, o puedes encontrar un enunciado que sea lo suficientemente obvio como para que la gente lo acepte como axioma. En ambos casos, se ha demostrado que el axioma es independiente de los demás. Creo que OP quiere un caso en el que se pensó que un enunciado era independiente de los otros axiomas de un tema y se demostró que era una consecuencia de ellos.
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Hay teoremas que tomamos como axiomas por comodidad. Por ejemplo, en ZF(C), el axioma del conjunto vacío se deduce del axioma del infinito (que, en particular, implica que hay existe un conjunto $x$ ) y el esquema del axioma de separación (que implica que $\{ y \in x \mid y \ne y \}$ es un conjunto), y sin embargo seguimos enunciando (normalmente) el axioma del conjunto vacío como un axioma independiente.
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Durante un tiempo, Cantor pensó que había demostrado lo que ahora llamamos la Hipótesis del Continuo.
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Creo que la historia de $C^*$ -algebras es algo así. En los primeros tiempos un $C^*$ -algebra se definió a través de toda una lista de propiedades. Cada vez se demostró que más de ellas eran consecuencias de otras. Así que hoy en día la lista de propiedades definitorias es bastante corta y la mayoría de las propiedades originalmente definitorias son ahora teoremas.
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@AsafKaragila Bueno, en el ejemplo del axioma de elección, parece que efectivamente AC no es un axioma en (un contexto específico) de ZF (y mi pregunta entonces se referiría a este tipo de relaciones en contextos ampliamente aceptados).
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Eyal, el punto principal aquí es que "axioma" es un acuerdo social, más que una definición matemática.
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@AsafKaragila Y, efectivamente, preguntaba por los acontecimientos históricos que describen esos fenómenos sociales :)
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Y de hecho el Axioma de la Elección se toma como un axioma y se reduce a un Teorema cuando se asume ZF+ZL, o incluso a una afirmación falsa cuando se asume ZF+AD.
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Creo que todos los axiomas de la Aritmética de Peano (PA) pueden derivarse de ZF?
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@Bram28 Sí (una vez que los hayamos reformulado adecuadamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos, pero este proceso es completamente automático) y, de hecho, ZF es ridículo exagerado para esa tarea.
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@CliveNewstead: El axioma del infinito está mal definido si aún no has definido el conjunto vacío (porque el símbolo del conjunto vacío aparece en el axioma del infinito).
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@Kevin: ¡Buena observación! Se puede eludir, por ejemplo, replanteándolo como $\exists x,\, (\exists y,\, y \in x) \wedge \forall z,\, (z \in x \Rightarrow z \cup \{ z \} \in x)$ . Pero tal vez eso sea hacer trampa.
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Ver también math.stackexchange.com/a/2378914/589