Subgrupo del pedido$n-1$ de un grupo del pedido$n$

Question

Aquí está la pregunta 2.1.5 de Dummit y Foote: Demuestre que$G$ no puede tener un subgrupo$H$ con$|H| = n-1$, donde$n = |G| > 2$.

¿Cómo se puede mostrar esto sin usar el teorema de Lagrange (que está en el capítulo 3 de Dummit)?

Gracias

Answer 1

Sabemos que cualquier subgrupo debe tener el elemento de identidad en ella. También sabemos que cada subgrupo debe contener los inversos de todos sus elementos. Supongamos que $H$ es un subgrupo de orden $n-1$. Deje $x$ designar el elemento de $G$ no $H$. A continuación, $x$ debe ser su propio inverso, como si $x^{-1} \not= x$ tenemos que $x^{-1}\in H$, sin embargo, $x$ no $H$ (lo cual es una contradicción).

Ahora no sea de identidad de la $y\in H$. Entonces si $xy$$H$, entonces esto implica que $x$ $H$ dado que se puede multiplicar por $y^{-1}$. La única manera de que $xy$ no $H$ si $y=1$. Pero hemos asumido de otra manera.

Podemos entonces llegar a la contradicción.

Answer 2

Deje que$g$ sea un elemento de$G$ que no esté en$H$. Deje que$h$ sea cualquier elemento de no identidad de$H$. Ahora muestra que$gh$ no está en$H$.

Answer 3

Echa un vistazo a$gH$, donde$g \in G$,$g \notin H$. Entonces reclamo$gH \cap H = \varnothing$; para si$h \in gH \cap H$, entonces tenemos$h \in H$ y también$h \in gH$, por lo que$h = gk$ para$k \in H$. Entonces$g = hk^{-1} \in H$, una contradicción. Asi que $gH \cap H = \varnothing$; pero luego, dado que$gH$ y$H$ tienen elementos$n - 1$,$H \cup gH$ tiene$2(n - 1) = 2n - 2 > n$ elementos si$n > 2$. Esto contradice a$\mid G \mid = n$. Entonces, tal subgrupo$H$ con$\mid H \mid = n - 1$ no puede existir. QED

Espero que esto ayude. Cheerio

y como siempre,

¡¡¡Fiat lux!!!

Answer 4

Considere un elemento$x$ en$G$ y no en$H$. Como$|H| = n - 1$,$x^{-1}$ debe estar en$H$. Sin embargo, la inversa es única, por lo que es fácil ver que$x^{-1}$ no tiene inversa en$H$ porque$x$ no está en$H$.