Tipo de teoría como de fundaciones

Question

¿Alguien sabe de alguna buena referencia que describa el tipo de fundamentos teóricos de las matemáticas? He leído algunos libros, por ejemplo, Winskel de La Semántica Formal de los Lenguajes de Programación y Pierce Tipos y Lenguajes de Programación. Sin embargo, estos no abordan cuestiones fundamentales, ya que están orientadas hacia la práctica del lenguaje de programación semántica y no asume ningún conocimiento de la lógica.

Lo que me preocupa es que casi cualquier definición de la matemática tiene un conjunto como parte de la definición, por lo que cualquier fundación de alguna manera se tiene que la dirección de los conjuntos y elementos que se utilizan con el fin de concreto calcular (a menos que esté completamente ausente el punto). Es allí cualquier riguroso libro que comienza por dar una definición precisa de qué tipo es y cómo puede ser utilizado para describir las fundaciones? Cada libro que he leído hasta ahora no ha logrado aún dar una definición precisa de un tipo.

Answer 1

Como puedo confirmar que (la introducción y el tipo de teoría capítulo de) la homotopy tipo de libro de la teoría está muy bien escrito, tengo la impresión de que hay más corto textos centrarse más directamente en (la historia de) la teoría tipo, como las fundaciones. La Enciclopedia de Filosofía de Stanford (SEP) es un excelente lugar donde uno puede encontrar los textos más cortos. Un buen lugar para empezar podría ser la sección en el escrito, las teorías Randall Holmes' SEP entrada en Alternativa Axiomático Conjunto de Teorías. Una imagen más completa incluyendo $\lambda$-cálculo se puede encontrar en Thierry Coquand de la SEP, en la entrada sobre el Tipo de Teoría. La revisión más reciente de que la entrada se incluye una sección sobre univalentes fundaciones (homotopy tipo de teoría).

Tengo que admitir que la SEP los artículos son muy amplias y contienen muchas históricos y referencias filosóficas. Para algunos más matemáticamente que las personas de mentalidad, una más centrada en cuenta como William Agricultor de Las Siete Virtudes de Tipo Simple Teoría podría ser más adecuado como una introducción al tipo de teorías (como la de la fundación). Uno de los problemas con el tipo de teoría como de la fundación es que hay tantas diferentes (no equiconsistent) tipo de teorías. Para la teoría de conjuntos, este problema puede evitarse mediante el uso de ZF (o NBG) como la "canónica" de la teoría de conjuntos. Saunders Mac Lane (1986) tratado de abordar este problema mediante la promoción de "limitado Zermelo la teoría de conjuntos", como una base para las matemáticas:

Algunos de los más débiles de los subsistemas de ZFC se utilizan. Zermelo la teoría de conjuntos, el sistema Z descrito anteriormente, está siendo estudiado. La restricción adicional de que el axioma de separación a las fórmulas en la que todos los cuantificadores están delimitadas en conjuntos ($\Delta_0$ separación) de los rendimientos "limitado Zermelo la teoría de conjuntos" o "Mac Lane teoría de conjuntos", llamado así porque se ha defendido como una base para las matemáticas por Saunders Mac Lane (1986). Es interesante observar que Mac Lane teoría de conjuntos es equivalente a la consistencia de la fuerza y la potencia expresiva a la prueba cutánea de la TUBERCULINA con el Axioma de Infinitud. Z es estrictamente más fuerte que la de Mac Lane teoría de conjuntos; la antigua teoría de la prueba la consistencia de este último. Ver Mathias (2001) para una discusión amplia.

En respuesta a otra pregunta, he tratado de explicar cómo TST está relacionado con otro tipo de teorías, y cómo se deriva su consistencia fuerza de no circular impredicative cuantificación.