¿${\rm dist}_A (x)= \inf\limits_{y\in A}\|y-x\|$ es continuo en la topología débil?

Question

¿Para qué espacios de Banach$X$ la función${\rm dist}_A (x)=\inf\limits_{y\in A} \| y-x\|$ es débil continua para todos los subconjuntos débilmente cerrados de$X$?

¿Alguien puede darme alguna sugerencia? Gracias de antemano.

Answer 1

Sólo los de dimensión finita.

Supongamos que el supuesto se mantiene en un espacio de Banach$X$. Ahora la topología débil en$X$ es Hausdorff, así que en particular la función de distancia es continua para$A = \{0\}$. En otras palabras, el mapa de normas$x \mapsto ||x||$ es débilmente continuo. Por lo tanto, la bola abierta$B(0,1)$, que es la imagen inversa de$]-1,1[$, está débilmente abierta en$X$. Pero en un espacio de dimensión infinita, los conjuntos débilmente abiertos no tienen límites, por lo que$X$ debe ser de dimensión finita.

Answer 2

Mi sugerencia es: Para todos los espacios de Banach en los que la topología débil coincide con la topología de la norma. Es decir, por ejemplo, para$\ell^1$ (Teorema de Schur) pero no para todos los demás$\ell^p$,$1 < p \le \infty$.