Si $A^3=A^2$ entonces $A^2$ es diagonalizable.

Question

Dejemos que $A\in \mathbb{k}^{n\times n} $ .

Demostrar que si $A^3=A^2\ne0$ entonces $A^2$ es diagonalizable. ¿Podría darme alguna pista sobre cómo demostrarlo? No puedo usar el polinomio mínimo, ya que no lo hemos visto en clase. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $A^2=B$ entonces $B^2 =B$ . (En otras palabras, $B^2$ es una proyección). Ahora bien, si $y=B(x)\in\mathop{\mathrm{im}} B$ entonces $$y = B(x) = B(B(x)) = B(y).$$ Así que $y$ es un vector propio correspondiente al valor propio $1$ de $B$ . Además, si $y\in \ker B$ entonces $y$ es un valor propio que responde al valor $0$ .

Por otro lado, dejemos que $x\in k^{n\times n}$ tenemos $$B(x) = B(B(x)).\tag{1}$$ así que $x- B(x)\in \ker(B)$ . Así, $$k^{n\times n} = \mathop{\mathrm{im}} B+\ker B.$$ Por último, si $x \in \ker B \cap \mathop{\mathrm{im}} B$ entonces $$x=B(x) = B(B(x)) = 0.$$ Así que $$k^{n\times n} = \mathop{\mathrm{im}} B \oplus \ker B.$$ Por lo tanto, $B$ es diagonalizable.

Answer 2

Observe que $A^4 = A^3 = A^2$ por lo que la matriz $B = A^2$ satisface $(B-I)B = B^2 - B = 0$ . Por la Forma Normal de Jordan, al satisfacer un polinomio sin raíces repetidas, debemos tener $B$ es diagonalizable.

Proceder sin maquinaria pesada: Cualquier matriz que satisfaga $B^2 = B$ se llama matriz idempotente. Se puede demostrar

- $B$ sólo debe tener valores propios $0$ y $1$

-El eigespacio para $0$ corresponde al espacio nulo por definición

-El eigespacio para $1$ corresponde al espacio de columnas por idempotencia

Entonces, por nulidad de rango, la dimensión del espacio nulo y el espacio de columnas se suman a la dimensión de tu espacio vectorial, por lo que tu matriz es diagonalizable.

Answer 3

Utilizando la forma de Jordan, vemos que tenemos bloques de Jordan de tamaño como máximo $2$ Por lo tanto, al descomponer se conoce cualquier $0$ -bloques de valores propios de tamaño $2$ cuadrado a todos $0$ bloques, y cualquier $1$ Los bloques tienen un tamaño máximo de $1$ y, por lo tanto, no se modifican.