Confundido acerca de la definición de un grupo como un groupoid con un objeto.

Question

Un groupoid se define como una categoría donde cada morfismos es un isomorfismo. Así que, a veces, un grupo que se dice ser simplemente una groupoid con un objeto.

Cuando trato de hacer sentido de esto, me denotar el objeto único como $G$. Puedo ver los morfismos como el análogo de "elementos". La identidad de $1_G$ es el análogo de la costumbre de identidad $e$, podemos componer dos morfismos, ya que son todas las flechas en la $G$, y para cualquier flecha $f$, tenemos algunas $f^{-1}$ tal que $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=1_G$, así que la idea de la recíproca todavía está allí.

Así que de manera informal asociar los elementos del grupo en la definición habitual a las flechas en el groupoid. Pero ¿qué hace el único objeto de $G$ en el groupoid "corresponden a" si yo fuera a tratar de manera informal sentido de un grupo en el sentido usual de la palabra? Lo hace incluso se corresponden para nada?

Answer 1

El único objeto en la groupoid correspondiente a un grupo de $G$ realmente no corresponde a nada en el grupo -, pero usted puede pensar en esto como una cosa que tiene su grupo de simetrías en el grupo $G$.

Sin embargo, si se considera groupoids con muchos objetos, todos de los cuales son isomorfos entre sí, entonces los diferentes objetos que corresponden a las diferentes realizaciones de un mismo grupo. Por otra parte, cada isomorfismo entre los diferentes objetos da lugar a un isomorfismo entre las correspondientes realizaciones del grupo.

Para hacer esta precisos, supongamos $\mathcal G$ es un groupoid donde todos los objetos son isomorfos. Para cada objeto $x$$\mathcal G$, vamos a $G_x$ denotar el grupo $\mathrm{Mor}_\mathcal G(x, x)$. Una de morfismos $\phi:x\to y$ define un isomorfismo $G_y\to G_x$ tomando $g\mapsto \phi\circ g\circ \phi^{-1}$.

Un buen ejemplo de esto es la Fundamental Groupoid de una ruta de acceso conectado espacio topológico $X$. Sus objetos son los puntos de $X$. El conjunto $\mathrm{Mor}(x,y)$ es el conjunto de homotopy clases de caminos de$x$$y$. En este groupoid, $G_x$ es el grupo fundamental de la $\pi_1(X,x)$ $X$ basado en el punto de $x$. Diferentes puntos de base de los resultado en isomorfo fundamentales de los grupos, y isomorphisms están determinados por homotopy clases de caminos entre estos puntos.

Answer 2

Por decepcionante que sea la respuesta, realmente no corresponde a nada.

Todos los axiomas de grupo se refieren a elementos del grupo; y estos elementos se corresponden con los morfismos de la categoría. No nos importa lo que el objeto es: sólo hay un objeto, después de todo! Así que todo lo que nos molesta es los morfismos.

Answer 3

Pienso en un grupo como una abstracción de las transformaciones invertibles de algo. Ya que es una abstracción, no nos preocupamos por lo que ese "algo" es.

Un groupoid de un solo objeto dice exactamente esto, a saber , que estamos tratando con transformaciones invertibles de "algo". El único objeto del groupoid es el "algo".

Answer 4

G no se corresponden para nada. Que es más o menos por diseño; todos de la estructura del grupo está en su morfismos, no hay nada más que aportar.

Dicho esto, puede hacer que corresponden a algo. Si $\mathcal{G}$ es el de un objeto groupoid, entonces usted puede considerar la posibilidad de functors $F : \mathcal{G} \to \mathcal{C}$ para las diversas categorías $\mathcal{C}$. Este functor envía $G$ a un objeto $F(G)$$\mathcal{C}$; usted puede ver este functor como seleccionar algo para $G$ a que corresponden.

Por ejemplo, si $\mathcal{C} = \mathbf{Set}$, más o menos, por definición, functors $F : \mathcal{G} \to \mathbf{Set}$ son la misma cosa, como un grupo de la izquierda de la acción de grupo $\hom(G,G)$ que actúa sobre el conjunto de $F(G)$.

Del mismo modo, si $\mathcal{C} = \mathbf{Vect}_{\mathbb{C}}$, luego functors dar representaciones del grupo $\hom(G,G)$ que actúa sobre el complejo de espacios vectoriales, si $\mathcal{C} =\mathbf{AbGrp}$ nos quede $\hom(G,G)$-módulos, y así sucesivamente.

No es terrible para interpretar $G$ como una especie de " universal "la cosa sobre la cual se $\hom(G,G)$ actos".

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Alternativamente, en la categoría de enfoque de la lógica formal, se puede considerar el lenguaje interno de $\mathcal{G}$, e interpretar $G$ siendo el grupo, y cada flecha en $\hom(G,G)$ da (generalizada) elemento de $G$.

Esta interpretación está estrechamente relacionado con la aplicación de la Yoneda la incrustación de a $\mathcal{G}$ y a la representación de Cayley del grupo $\hom(G,G)$ que actúa sobre sí mismo.