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Dado un par de funciones continuas de un espacio topológico a un conjunto ordenado, ¿cómo demostrar que este conjunto es cerrado?

Dado que X es un espacio topológico arbitrario, Y es un conjunto totalmente ordenado en la topología de orden, y f , g:XY son funciones continuas, cómo demostrar que el subconjunto A de X dado por A:={ xX : f(x)g(x) } está cerrado en X ?

Edición basada en la respuesta de Hagen von Eitzen:

Dejemos que U:={u×vY×Y : u<v } . Demostramos que U está abierto en Y×Y .

Dejemos que u×vU . Entonces u<v .

Caso I. Si hay algún yY tal que u<y<v entonces u×v(,y)×(y,+)U .

Caso 2. Si (u,v) está vacío, entonces u(,v) y v(u,+) y así u×v(,v)×(u,+) .

Además, si a×b(,v)×(u,+) , entonces debemos tener a<v y b>u . Así que au<vb lo que implica que a<b y así a×bU .

Así, u×v(,v)×(u,+)U .

Así que U está abierto en Y×Y .

Del mismo modo, podemos demostrar que el conjunto V:={ u×vY×Y : u>v } está abierto en Y×Y .

Por lo tanto, se deduce que el conjunto A:={ u×vY×Y : uv } está cerrado en Y×Y .

Ahora bien, como los mapas f:XY y g:XY son continuos, también lo es el mapa f×g:XY×Y definido como (f×g)(x):=f(x)×g(x)  for all  xX.

Así, la imagen inversa bajo f×g del conjunto A está cerrado en X .

Pero (f×g)1(A)={ xX : (f×g)(x)A }={ xX : f(x)×g(x)A }={ xX : f(x)g(x) }.

11voto

DiGi Puntos 1925

Se puede demostrar directamente a partir de las definiciones. Sea U=XA={xX:f(x)>g(x)} sólo tenemos que demostrar que U está abierto. Dejemos que xU sea arbitraria; encontraremos un nbhd abierto de x contenida en U . Desde xU sabemos que g(x)<f(x) . Ahora hay dos casos.

  1. Hay algunos aY tal que g(x)<a<f(x) . Sea V=g1[(,a)]andW=f1[(a,)]. Entonces VW es un nbhd abierto de x (¿por qué?), y para cada yVW tenemos g(y)<a<f(y) Así que VWU .

  2. El intervalo (g(x),f(x)) en Y está vacía. Entonces dejemos que V=g1[(,f(x))]andW=f1[(g(x),)] y argumentar casi exactamente como en el primer caso.

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¡¡tus respuestas son tan instructivas y esclarecedoras!! ¡¡Cuánto me he beneficiado de tu presencia en este foro!! ¡¡Dios te bendiga!!

5voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

El conjunto {(x,y)Y2xy} está cerrado en Y2 y XY2,x(f(x),g(x)) es continua.

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Cómo es el conjunto {(x,y)Y2 | xy } está cerrado en Y2 ?

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Cómo es el conjunto { u×vY×Y : uv } cerrado en Y×Y ? ¿Puede explicarlo?

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