Dado que XX es un espacio topológico arbitrario, YY es un conjunto totalmente ordenado en la topología de orden, y ff , g:X→Yg:X→Y son funciones continuas, cómo demostrar que el subconjunto AA de XX dado por A:={ x∈X : f(x)≤g(x) }A:={ x∈X : f(x)≤g(x) } está cerrado en XX ?
Edición basada en la respuesta de Hagen von Eitzen:
Dejemos que U:={u×v∈Y×Y : u<v }U:={u×v∈Y×Y : u<v } . Demostramos que UU está abierto en Y×YY×Y .
Dejemos que u×v∈Uu×v∈U . Entonces u<vu<v .
Caso I. Si hay algún y∈Yy∈Y tal que u<y<vu<y<v entonces u×v∈(−∞,y)×(y,+∞)⊂Uu×v∈(−∞,y)×(y,+∞)⊂U .
Caso 2. Si (u,v)(u,v) está vacío, entonces u∈(−∞,v)u∈(−∞,v) y v∈(u,+∞)v∈(u,+∞) y así u×v∈(−∞,v)×(u,+∞)u×v∈(−∞,v)×(u,+∞) .
Además, si a×b∈(−∞,v)×(u,+∞)a×b∈(−∞,v)×(u,+∞) , entonces debemos tener a<va<v y b>ub>u . Así que a≤u<v≤ba≤u<v≤b lo que implica que a<ba<b y así a×b∈Ua×b∈U .
Así, u×v∈(−∞,v)×(u,+∞)⊂Uu×v∈(−∞,v)×(u,+∞)⊂U .
Así que UU está abierto en Y×YY×Y .
Del mismo modo, podemos demostrar que el conjunto V:={ u×v∈Y×Y : u>v }V:={ u×v∈Y×Y : u>v } está abierto en Y×YY×Y .
Por lo tanto, se deduce que el conjunto A:={ u×v∈Y×Y : u≤v }A:={ u×v∈Y×Y : u≤v } está cerrado en Y×YY×Y .
Ahora bien, como los mapas f:X→Yf:X→Y y g:X→Yg:X→Y son continuos, también lo es el mapa f×g:X→Y×Yf×g:X→Y×Y definido como (f×g)(x):=f(x)×g(x) for all x∈X.(f×g)(x):=f(x)×g(x) for all x∈X.
Así, la imagen inversa bajo f×gf×g del conjunto AA está cerrado en XX .
Pero (f×g)−1(A)={ x∈X : (f×g)(x)∈A }={ x∈X : f(x)×g(x)∈A }={ x∈X : f(x)≤g(x) }.