Cero de un polinomio complejo que satisface una de las tres afirmaciones.

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo mayor que $1$ . Demostrar que si $x$ es un cero de $ X^n+1+(-1)^n(X+1)^n$ entonces $|x|=1$ o $|x+1|=1$ o $|x+1|=|x|$ .

Mi idea inicial era estudiar los casos $n=2,3,4$ (que confirman efectivamente el resultado) para establecer un enfoque general, pero no lo conseguí.

Answer 1

El conjunto de raíces de este polinomio tiene varias simetrías:

• Es simétrico en la línea $\operatorname{Im}(z) = 0$ .
• Es simétrico en la línea $\operatorname{Re}(z) = -\tfrac{1}{2}$ .
• Es simétrico bajo $z \mapsto z^{-1}$ ( $z \neq 0$ ).

Obsérvese que la última simetría mapea la línea $\operatorname{Re}(z) = -\tfrac{1}{2}$ a $\{z \mid |z+1|=1\}$ y viceversa.

Si $n$ es impar entonces $\{-1,0\}$ son raíces. Sea $\zeta$ sea una raíz tercera primitiva de la unidad. Entonces $\zeta + 1$ es una raíz sexta primitiva de la unidad. Si $3 \nmid n$ entonces $\zeta^{\pm 1}$ son raíces y si $n \equiv 1, 4$ ( $\bmod$ $6$ ) entonces $\zeta^{\pm 1}$ son raíces dobles. (Se puede comprobar esto considerando la derivada en $\zeta^{\pm 1}$ .)

Si podemos demostrar que el polinomio tiene un número suficiente de ceros en la circunferencia unitaria, entonces sus simetrías pueden ser suficientes para localizar todo ceros, con lo que se cumplirán automáticamente las condiciones requeridas.

Sustituir $X \leftarrow e^{2it}$ para conseguir

$$\begin{eqnarray} e^{2i n t} + 1 + (-1)^n(e^{2it} + 1)^n &=& e^{2int} + 1 + (-1)^ne^{int}(2\cos(t))^n \\ &=& e^{int}\left(2\cos(nt) + 2^n(-\cos(t))^n \right) \end{eqnarray} $$

y por lo tanto $e^{2it}$ es un cero precisamente si $$ \cos(nt) + 2^{n-1}(-\cos(t))^n = 0.$$

Si $t \in [\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{\pi}{2}]$ entonces $|2^{n-1}\cos(t)^n| \leq \tfrac{1}{2}$ mientras que $\cos(n t)$ oscila entre $-1$ y $1$ . Por lo tanto, debe haber una raíz entre dos puntos cualesquiera en los que $\cos(nt)$ va de $-1$ a $1$ o viceversa. Ahora $\cos(n t)= \pm 1$ precisamente si $nt=m \pi$ para algún número entero $m$ . Por simetría, cada raíz del Abrir El intervalo representa seis raíces del polinomio. Comprobemos lo que ocurre considerando seis casos diferentes $n$ $\bmod$ $6$ .

$n = 6k$ : $\cos(n t) = \pm 1$ cuando $2k \leq m \leq 3k$ así que $k+1$ veces y, por tanto, al menos $k$ raíces en el intervalo abierto. Todos los $6k$ raíces se tienen en cuenta.

$n=6k+1$ . Al menos las raíces dobles en $\zeta^{\pm 1}$ y las raíces simples en $\{-1,0\}$ . Ahora $\cos(n t) = \pm 1$ cuando $2k + 1 \leq m \leq 3k$ así que $k$ veces que representan al menos $k-1$ raíces. Así que todos $6k$ raíces se tienen en cuenta.

$n=6k+2$ . Al menos las raíces simples en $\zeta^{\pm 1}$ . Ahora $\cos(n t) = \pm 1$ cuando $2k + 1 \leq m \leq 3k + 1$ así que $k + 1$ veces que representan al menos $k$ raíces. Así que todos $6k + 2$ raíces se tienen en cuenta.

$n=6k+3$ . Al menos las raíces simples en $\{-1,0\}$ . Ahora $\cos(n t) = \pm 1$ cuando $2k + 1 \leq m \leq 3k + 1$ así que $k + 1$ veces que representan al menos $k$ raíces. Así que todos $6k + 2$ raíces se tienen en cuenta.

$n=6k+4$ . Al menos las raíces dobles en $\zeta^{\pm 1}$ . Ahora $\cos(n t) = \pm 1$ cuando $2k + 2 \leq m \leq 3k + 2$ así que $k + 1$ veces que representan al menos $k$ raíces. Así que todos $6k + 4$ raíces se tienen en cuenta.

$n=6k+5$ . Al menos las raíces simples en $\zeta^{\pm 1}$ y $\{-1,0\}$ . Ahora $\cos(n t) = \pm 1$ cuando $2k + 2 \leq m \leq 3k + 2$ así que $k + 1$ veces que representan al menos $k$ raíces. Así que todos $6k + 4$ raíces se tienen en cuenta.

Por lo tanto, en todos los casos concluimos que las raíces satisfacen las condiciones requeridas.

Answer 2

Lo siguiente no ayuda mucho:

Este parece como un problema de deberes, así que te dejo los detalles. Pero la idea clave es utilizar el principio de argumentación. Por ejemplo, podemos demostrar que no hay raíces con |z|<1 examinar lo que ocurre cuando $|z|<1$ y $|z+1|<1$ o $|z+1|>1$ considerando $\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz$ para cualquier contorno cerrado contenido en el círculo de la unidad uno de estos dominios (donde $f(z)$ es su polinomio, después de factorizar los ceros triviales). Entonces el integrando es una función holomorfa en este dominio (demuéstralo), por lo que la integral evalúa a cero y por tanto no hay ceros en el interior del círculo unitario.

De forma similar, se puede ampliar para considerar el dominio en el que $|z|>1$ y $|z| > |z+1|$ así como el dominio en el que $|z| > 1$ y $|z| < |z+1|$ .

Espero que esto ayude.