¿Puede alguien ayudarme a encontrar un formulario cerrado para$F_n$ donde$$F_0=x_0$ $$$F_{n+1}=F_n+\frac{1}{F_n}=\frac{F_n^2+1}{F_n}$ $ podría imaginar que esto ya se había hecho, en cuyo caso agradecería una referencia a él? He intentado ver algunos de los primeros términos, pero no puedo entenderlos. Gracias por cualquier consejo!
(Contexto: Estoy haciendo un juego en el que una variable$x$ que comienza en$x_0$ cambia de esta manera en cada fotograma,$F_n$ es el$n$ - fotograma, esto no es ' es un problema de tarea)
Respuesta
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Sandeep Silwal
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(Esto fue demasiado largo para un comentario). Supongamos que$$F_n = \frac{a}b + \frac{b}a$$ where $ a, b$ are polynomials in $ F_0 = x.$ Then we can easily prove that $$F_{n+1} = \frac{a^2+b^2}{ab} + \frac{ab}{a^2+b^2}.$$ Therefore, the problem boils down the solving the coupled recurrences $$a_n = a_{n-1} b_{n-1}$$ $$b_n = a_{n-1}^2 + b_{n-1}^2$$ where $ a_n, b_n$ are polynomials and the initial conditions are $ a_1 = 1, b_1 = x. $ Resolver cualquier recurrencia no lineal es prácticamente imposible (por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot tiene una recurrencia no lineal que conduce a un comportamiento caótico ) aunque hay algunos trucos sobre este problema en particular.
