Tiros libres en juego de baloncesto - Probabilidad

Question

La variable aleatoria $X_i$ indica que si en un juego de baloncesto de la $i$-th tiro libre es golpeado ($X_i = 1$) o no ($X_i = 0$). $10$ tiros libres ejecutados, por lo que el $i = 1,\ldots 10$. Sostiene que la $P(X_i=0)=0,3$$P(X_i=1)=0,7$. X denota la suma de estas diez variables aleatorias independientes: $X = \sum_{i=1}^{10}X_i$.

(a) Determine el $P (X = 8)$. Lo que hace esta probabilidad significan en términos de contenido?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de visitas es en la mayoría de los cinco?

(c) Que el número de visitas que podemos esperar en promedio?

$$$$

(a) es que el $P(X=8)=0,3^2\cdot 0,7^8=0.0051883209$ ? Eso significaría que la probabilidad de que 8 de 10 tiros libres fueron un éxito es igual a $0,5\%$.

Es esto correcto?

(b) queremos calcular la probabilidad de $P(X\geq 5)$, que es igual a $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0,3^9\cdot 0,7^1+0,3^8\cdot 0,7^2+0,3^7\cdot 0,7^3+0,3^6\cdot 0,7^4+0,3^5\cdot 0,7^5=0.0007043841$, o no?

(c) Nos piden calcular el valor esperado, ¿no? Es esto igual a $$E(X)=\sum_{i=1}^{10}x_i\cdot P(X=x_i)\\ =1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+\ldots 9\cdot P(X=9)+10\cdot P(X=10)$$ o no?

Answer 1

La clave para toda la pregunta es identificar la distribución de$X$ que es una suma de iid de la distribución de Bernoulli.

Por lo tanto,$X \sim Bin(10, 0.7)$.

Con esta herramienta, deberías poder resolver cada parte.

En particular

PS

También, conocemos la fórmula de forma cerrada por su expectativa.

Answer 2

(a) el cálculo de P(X = 8) es errónea. Usted no considerar el hecho de que $0,3^2⋅0,7^8$ considera sólo 1 caso de 8 aciertos y 2 fallos. por ejemplo, HHHHHHHHMM. De hecho, hay $\frac{10!}{2!8!}$ de los casos (el uso de la combinatoria), que conduce a $\frac{10!}{2!8!}*(0,3^2⋅0,7^8)$ ser la solución correcta para P(X=8). Su definición de la probabilidad también es un poco vago. Me gustaría frase de esta manera "la probabilidad de que 8 de 10 tiros libres fueron con éxito"

(b) Se han interpretado mal la pregunta. El número de visitas es de un máximo de 5, por lo tanto X debe ser en la mayoría de los 5. Por lo tanto, debemos encontrar la $P(X\le 5)$. Usted tendría que usar una Distribución Binomial para esto. Hay 10 independiente en los tiros libres, con un P(éxito de hit) = $P(X_i=1)$ = 0.7. Por Lo Tanto, X~B(10,0.7). Usted puede utilizar una calculadora o Excel para encontrar a $P(X\le 5)$ a partir de ahí. (BinomCDF)

(c) E(X) = np para una Distribución Binomial. En este caso, E(X) = 10 * 0.7 = 7. Para una información más completa respuesta, podemos utilizar la fórmula general E(X) = $\sum_{i=1}^{10} x_ip_i$. Encontrar todos los $P(X=x_i)$ y mutiply con toda la $x_i$ valores. Suma el producto para hallar E(X).

Espero que esto ayude.

Answer 3

Para la primera parte, $0.3^2.0.7^8$ representa la probabilidad de que 8 de cada 10 tiros libres, pero usted puede organizar $8$ m y $2$ perdidas PIES de diferentes maneras, específicamente $^{10}C_2$ formas, por lo que la probabilidad real es de $^{10}C_2.0.3^2.0.7^8$.

En otras palabras, $0.3^2.0.7^8$ representa la probabilidad de golpear a $8$ $10$ PIES en sólo una de las muchas maneras posibles (por ejemplo, golpear a la primera $8$ FT y faltan las ultimas $2$).

Del mismo modo se puede resolver la segunda parte, pero debes tener en cuenta que para calcular el $P(X \leq 5)$ (en la mayoría de las $5$ FT).

Para la tercera parte, el uso de la linealidad de la esperanza - $E[X] = \sum_iE[X_i]$. Alternativamente, como ya se ha señalado por usted y Productor de BS, el experimento puede ser descrita por una distribución de probabilidad binomial, cuya expectativa es $E[X = n] = np$ donde $p$ es la probabilidad de que un hecho FT.