Sobre la familia

Question

Hay un argumento que me molesta un poco en Rabinowitz : Minimax métodos en el punto crítico de la teoría. p.94

Estamos tratando de demostrar que para determinadas funciones, el Palais - Smale condición puede ser simplificado. Específicamente, deje $\Omega$ ser un almacén de dominio en $\mathbb{R}^n$, con suave límite. Deje $p$ ser una función de la satisfacción de ($p$1) $p(x,\xi) \in C(\bar{\Omega}\times\mathbb{R},\mathbb{R})$
($p$2) Hay constantes $A,B>0$ $|p(x,\xi)| \leq A+B|\xi|^s$ donde $0\leq s < \frac{n+2}{n-2}, n\geq3$.

Reclamo : Vamos a $I$ ser el funcional correspondiente a $p$ definido por $$I(u) = \int_{\Omega}\frac{1}{2}|\nabla u|^2 - P(x,u) dx$$ donde $P(x,\xi) = \int_0^{\xi}p(x,t)dt$. Entonces, si $(u_m)$ es un almacén de secuencia en $E = W_0^{1,2}(\Omega)$, de tal manera que $I'(u_m)\rightarrow 0$, $(u_m)$ tiene un convergentes larga.

Comienzo de la prueba: Vamos a $D : E\rightarrow E^{*}$ ser la dualidad mapa entre el $E$ y su doble. Entonces, para $u,\phi \in E$, $$(Du)\phi = \int_{\Omega}\nabla u \dot\ \nabla \phi dx$$ Por lo tanto, $D^{-1}I'(u) = u - D^{-1}J'(u)$. Y continúa desde allí.

Aquí, $J'(u)$ es la derivada del segundo término en $I$. No entiendo lo que significa la dualidad mapa. En Evans y Brezis por ejemplo, son muy firme en su postura de que no podemos identificar este espacio con su doble. Así que, ¿dónde esta forma muy concreta del mapa viene? Y por qué podemos simplemente invertir como este? También, afirma más adelante que $D^{-1}$ es continua. ¿Por qué es esto??

Editar

@5PM Ahora que miro esto, sin embargo, parece que ya explícitamente saber la fórmula para el emparejamiento. Que $\langle -\Delta f,f\rangle _{E^{*},E} = \int{|\nabla f|^2}$. ¿Por qué es esto? ¿Cómo podemos saber lo que la vinculación es la formula? Por ejemplo, trabajé en el $L^p$ ejemplo siempre, pero la comprobación de que las dos condiciones trabajado, porque sabía que el doble de $L^p$$L^q$. Por eso, $\langle -\Delta f,f\rangle_{E^{*},E} =?$ Usted necesita saber también explícitamente la norma en el doble, para mostrar que $||-\Delta f||_{E^{*}} = ||f||_E (= (\int{|\nabla f|^2})^{\frac{1}{2}})$