El paquete normal del trenzado cúbico.

Question

Deje $C\subset \mathbb P^3$ ser el trenzado cúbicos dada por el ideal de la $I=(xz-y^2,yw-z^2,xw-yz)$. Quiero calcular la normal bundle $N_{C/\mathbb P^3}$, es decir, el doble de $\mathcal I/\mathcal I^2=(I/I^2)^\sim$. Mi objetivo es encontrar a $h^0(N_{C/\mathbb P^3})$, por lo que me gustaría escribir $N_{C/\mathbb P^3}$ de tal manera que su $h^0$ puede ser fácilmente calculada.

Traté de calcular $I^2$, con la esperanza de ser capaz de escribir $I/I^2$. Pero yo no tuve éxito (demasiadas relaciones), y yo no sé si este es el camino correcto. ¿Qué te parece?

Después, me escribió $$\mathcal I/\mathcal I^2=\mathcal I\otimes_{\mathcal O_{\mathbb P^3}}\mathcal O_{\mathbb P^3}/\mathcal I=\mathcal I\otimes_{\mathcal O_{\mathbb P^3}}\mathcal O_C=\mathcal I|_C.$$ But even there I got stuck, as I cannot compute that restriction. It would be much easier if $C$ eran una intersección.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Tenemos el paquete de la división de $N_{C/\mathbb P^3}=\mathcal O_C(5)\oplus \mathcal O_C(5)$.
Esto queda demostrado en la Proposición 6 del artículo En el Normal Paquetes de Suave Racional Curvas en el Espacio por Eisenbud-Van de Ven.
Así que su objetivo se ha cumplido: $h^0(C, N_{C/\mathbb P^3})=6+6=12$

Los autores (al final de su artículo), el boceto de un segundo, muy computacional de la prueba, de su Proposición 6 basado en el hecho de que el cúbicos curva se encuentra en el buen quadric $xw-yz=0$.

Answer 2

Deje $R$ a ser el de coordinar anillo de $\mathbb P^3$ con variables $x,y,z,w$, e $S=R/I$. Deje $Y$ ser el trenzado cúbicos dentro de $Proj R$. Tenemos que tener una secuencia exacta $$ 0 \to R(3)^2 \xrightarrow{\alpha} R(-2)^3 \to I \to 0,$$ donde $\alpha$ es la matriz $\begin{bmatrix}-z & w \\ y & -z \\ -x & y \end{bmatrix}$. Tensoring la secuencia de arriba con $ \otimes_R R/I$ da una presentación de $I/I^2$ :

$$ A(-3)^2 \to A(-2)^3 \to I/I^2 \to 0 .$$

Homming is left-exact, so applying $Hom_B(-,B)$ gives $$0 \to Hom(I/I^2,B) \to B(2)^3 \to B(3) ^2.$$

Sheafifying gives the exact sequence of $\mathcal O _Y$-módulos: $$ 0 \to \mathcal N_{Y/X} \to \mathcal O_Y(2)^3 \xrightarrow{\alpha^T} \mathcal O_Y(3)^2.$$

Thus a basis for $H^0(\mathcal N_{Y/X})$ is given by the degree zero piece of $\ker \alpha^T $.

Hice el cálculo en Macaulay2, pero no debería ser insoportable con la mano. La dificultad está en mantener el seguimiento de la clasificación.

>ker C.dd_2
>o114 = image {-2} | z y  0 x  0 0 |
              {-2} | w 0  z 0  y x |
              {-2} | 0 -w w -z z y |
                                3
>o114 : S-module, submodule of S
>matrix basis(0,oo)
>o115 = {-1} | w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
        {-1} | 0 w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
        {-1} | 0 0 w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
        {-1} | 0 0 0 x y z w 0 0 0 0 0 |
        {-1} | 0 0 0 0 0 0 0 w 0 0 0 0 |
        {-1} | 0 0 0 0 0 0 0 0 x y z w |
               6       12
o115 : Matrix S  <--- S