Usando vectores para mostrar un hecho sobre un n-gon regular

Question

Supongamos que tenemos un n-gon$X_1X_2...X_n$ con el centro$O$. Estoy tratando de demostrar que

PS

Estoy tratando de mostrar esto usando la inducción. Si comenzamos con un triángulo, digamos$$ \vec{OX_1}+... + \vec{OX_n} = \vec{0}$, queremos mostrar$\triangle X_1X_2X_3 $. ¿Es suficiente para mostrar este caso? Quizás es más fácil si hacemos directamente el$\vec{OX_1} + \vec{OX_2} + \vec{OX_3} = \vec{0}$?

Answer 1

Considere una rotación$R$ que es$\frac{2\pi}{n}$ - rotación. Supongamos que$v:=\sum_i OX_i $ Entonces$$ Rv=\sum_i R(OX_i)=\sum_i OX_i=v $ $

Por lo tanto,$v$ es invariante bajo la rotación Eso es$v=0$

Answer 2

Dado que el$n$ - gon es regular,$X_1,...,X_n$ está en el círculo de radio$r=\|\vec{OX_j}\|,\ j\in\{1,...,n\}$ y sin pérdida de generalidad (podemos tomar una rotación y usar el hecho de que para% fijo$n$$n$ - gons son congruentes)$X_j$ 's son$n$ - las raíces de la ecuación$X^n-r=0$. Por la fórmula de Vieta su suma es igual a$0$.