Si el mcd ($m,n$) = 1, entonces$R_{mn} \cong R_m \times R_n$

Question

Tenga en cuenta que$R_n$ es el mod de grupo multiplicativo$n$ de todos los números$k$ primos relativamente con$n$, donde$1\leq k <n$.

No sé cómo proceder aquí. Sólo sugerencias por favor.

Ninguna de las sugerencias a continuación tiene sentido para mí. ¿Sería el siguiente candidato adecuado para un isomorfismo entre$R_{mn}$ y$R_m \times R_n$? Definir$\phi :R_m\times R_n\rightarrow R_{mn}:(k,j)\mapsto kj$ mod ($mn$)

Answer 1

Aquí hay una hoja de ruta:

• Si $A$ $B$ son anillos y $R=A\times B$,$R^\times = A^\times \times B^\times$.

• El natural de anillo homomorphism $\mathbb Z \to \mathbb Z/m \times \mathbb Z/n $ ha kernel $mn\mathbb Z$.

• La inducida por el anillo homomorphism $\mathbb Z/mn \to \mathbb Z/m \times \mathbb Z/n $ es surjective (mediante la comparación de tamaños).

• $\mathbb Z/mn \cong \mathbb Z/m \times \mathbb Z/n $. (Este es el teorema del resto Chino.)

Si usted no ha visto los anillos y cocientes, se puede proceder como sigue. Definir $f: R_{mn} \to R_m \times R_n$ $f(x \bmod mn) = (x \bmod m, x \bmod n)$ y probar:

• $f$ está bien definido.

• $f$ es un grupo homomorphism.

• $f$ es inyectiva.

• $f$ es surjective. La forma más fácil es comparar tamaños, si usted sabe que $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$. De lo contrario, debes usar ese $1=mu+nv$ algunos $u,v \in \mathbb Z$ y, a continuación,$(a \bmod m,b \bmod n)=f(mub+nva \bmod mn)$.

Answer 2

Pista: Teorema del resto chino.