Gráfico de $\log(3-x)$

Question

Así que si $y=\log(3-x) = \log(-x+3)$ entonces usted reflexiona $\log(x)$ en el $y$ eje para obtener $\log(-x)$ .

Entonces, porque es $+3$ dentro de los paréntesis se desplaza a la izquierda por $3$ dando una asíntota de $x=-3$ y el gráfico que cruza el $x$ eje en $(-4,0)$ .

Sin embargo, esto no funciona. La respuesta muestra el $+3$ en el paréntesis desplazando la curva hacia la derecha en $3$ dando una asíntota de $x=3$ y la curva que cruza el $x$ eje en $(2,0)$ .

¿Por qué lo hace? ¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Existe un pequeño conjunto de operaciones algebraicas que corresponden a transformaciones geométricas:

Cuando tenemos la gráfica de una función $y = f(x)$ ...

Cambiando:

• La sustitución $x \mapsto x - h$ desplaza un gráfico $h$ unidades a la derecha (que sería a la izquierda, si $h$ es negativo)

• La sustitución $y \mapsto y - k$ desplaza un gráfico $k$ unidades hacia abajo (hacia arriba si $k$ es negativo)

Reflexionando:

• La sustitución $x \mapsto -x$ refleja el gráfico a través del $y$ -eje; un "giro a la izquierda/derecha"

• La sustitución $y \mapsto -y$ refleja el gráfico a través del $x$ -eje; una "vuelta arriba/abajo"

Ahora, aquí está la clave: Estas transformaciones tienen que ser escritas exactamente así , sólo sustituyendo $x$ o $y$ con algo.

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Por lo tanto, cuando desglosamos $y = \ln(3 - x)$ como lo has hecho...

$$ y = \ln(x) \xrightarrow{x\ \mapsto\ -x} y = \ln(-x) \longrightarrow y = \ln(-x + 3) $$

la última transformación, $-x \mapsto -x + 3$ es pas una de nuestras transformaciones básicas: Estamos añadiendo $3$ a $-x$ no $x$ . Tal y como está escrito, simplemente no podemos reconocerlo como correspondiente a ninguna de nuestras transformaciones básicas. Pero, si lo pensamos un poco diferente...

$$ y = \ln(x) \xrightarrow{{x}\ \mapsto\ -x} y = \ln(-\color{red}{x}) \xrightarrow{\color{red}{x}\ \mapsto\ \color{red}{x - 3}} y = \ln\bigl(-(\color{red}{x - 3})\bigr) = \ln(-x + 3) $$

que reconocemos como la secuencia de transformaciones 1) Voltear la gráfica a la izquierda/derecha, y 2) Desplazar a la derecha 3 unidades.

Hay una alternativa:

$$ y = \ln(x) \xrightarrow{x\ \mapsto\ x + 3} y = \ln(x + 3) \xrightarrow{x\ \mapsto\ -x} y = \ln(-x + 3) $$

por lo que vemos que la transformación también se puede conseguir 1) Desplazando el gráfico $3$ unidades a la izquierda, y luego 2) Voltear a la izquierda y a la derecha.

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Así que, resumiendo: para reconocer un gráfico como la transformación de otro gráfico, hay que tienen para averiguar cómo utilizar sólo sustituciones como "añadir esto a $x$ ", o "hacer $x$ negativo", no añadiendo cosas a $-x$ o $2x$ etc.

Answer 2

Comience con $y=\log(x)$ . Para desplazar esto a la izquierda tres unidades, sustituya " $x$ " con " $x+3$ ". Ahora tienes $y=\log(x+3)$ .

Ahora reflexiona sobre la $y$ -eje. Para ello, sustituya " $x$ " con " $-x$ ". Ahora tienes $y=\log(-x+3)$ .

El orden en que se producen las transformaciones de la gráfica horizontal es inverso al que se podría pensar por el orden de las operaciones. Si primero haces " $x\mapsto-x$ y luego hacer $x\mapsto x+3$ , se obtiene $\log(x)\mapsto\log(-x)\mapsto\log(-(x+3))$ que no es lo que te propones.

Answer 3

Tenga en cuenta que

• $3-x$ poner el origen en x=3 (traslación a la derecha) e invertir la dirección del eje
• por lo que la asíntesis vertical está en $x=3$ y la raíz está en $x=2$