No debería poder demostrar que el conjunto de potencias de la unión es igual a la unión de conjuntos de potencias.

Question

Y sin embargo, ¡aquí estoy, "probando" lo imposible!

Mi razonamiento es el siguiente:

$X \in P(A \cup B) \iff X \subset A \cup B \iff x \in X \to x \in A \cup B \iff x\in X \to x \in A \vee x \in B \iff (x \in X \to x \in A) \vee (x \in X \to x \in B) \iff X \subset A \vee X \subset B \iff X \in P(A) \vee X \in P(B) \iff X\in P(A) \cup P(B)$

Sé que esto se rompe al menos en cuanto $ (x \in X \to x \in A) \vee (x \in X \to x \in B)$ pero como $P \to Q \vee R \iff (P \to Q) \vee (P \to R)$ No sé cómo evitarlo.

Se agradecerán sugerencias o respuestas.

Answer 1

El $x$ que entra en la primera línea debe ser cuantificado de alguna manera. Si escribes los cuantificadores explícitamente, encontrarás un punto en el que implícitamente reinterpretas $\forall x.(\phi(x)\lor \psi(x))$ a $(\forall x.\phi(x))\lor(\forall x.\psi(x))$ . Eso no es sólido.

Answer 2

El paso en falso es

$$x\in X\to(x\in A\lor x\in B)\iff(x\in X\to x\in A)\lor(x\in X\to x\in B)\;:$$

el lado izquierdo dice que $X\subseteq A\cup B$ Por otro lado, el lado derecho dice que $X\subseteq A$ o $X\subseteq B$ (o ambos). Esta última es claramente una afirmación más fuerte que la primera: si $A=\{0\},B=\{1\}$ y $X=\{0,1\}$ El lado izquierdo es cierto, pero el derecho no lo es.

Es fácil cometer este tipo de error cuando se omiten los cuantificadores. Todas las afirmaciones de tu argumento deberían ir precedidas de $\forall x$ ; $$\forall x\big(x\in X\to(x\in A\lor x\in B)\big)\;,$$ por ejemplo, o simplemente $$\forall x\in X(x\in A\lor x\in B)\;.$$ Esto tiene la forma $\forall x\in X\big(\varphi(x)\lor\psi(x)\big)$ : cada $x\in X$ tiene al menos una de las propiedades $\varphi$ y $\psi$ . Su lado derecho, en cambio, tiene la forma $\forall x\in X\big(\varphi(x)\big)\lor\forall x\in X\big(\psi(x)\big)$ : o bien cada $x\in X$ tiene la propiedad $\varphi$ o cada $x\in X$ tiene la propiedad $\psi$ . Esto ya no permite la posibilidad de que algunos $x\in X$ tienen $\varphi$ pero no $\psi$ , mientras que el resto tiene $\psi$ pero no $\varphi$ .

Answer 3

El problema está en el paso $$(x\in X\to x\in A \vee x\in B )\iff (x\in X\to x\in A)\vee (x\in X\to x\in B)$$ Si $P(x)$ implica ( $Q(x)$ o $R(x)$ ) para todos los $x$ no significa que tenga que ser el caso que $P(x)$ implica $Q(x)$ para todos $x$ o que $P(x)$ implica $R(x)$ para todos $x$ . Por ejemplo, considere $P(x)=$ " $x$ es un número entero", $Q(x)=$ " $x$ es un número entero par ", y $R(x)=$ " $x$ es un número entero impar".

Answer 4

Intenta instanciarlo a través de un contraejemplo.

Toma $A=\{0\}$ y $B=\{1\}$ y tomar $X=\{0,1\}\in\mathcal P(A\cup B)$ . Ya ves que efectivamente $x\in X\rightarrow x\in A\lor x\in B$ pero esto no tiene por qué implicar que $(x\in X\rightarrow x\in A)\lor(x\in X\rightarrow x\in B)$ .