Esto es un poco de base computacional pregunta sobre álgebras de Lie, pero estoy recibiendo tipo de engañar, así que pensé en publicarlo.
Estoy confundido acerca de cómo realizar algunos cálculos en Serre del Complejo Semisimple álgebras de Lie. El primer caso es el siguiente: Vamos a $X,Y,H$ ser una base para $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ la satisfacción de las habituales relaciones de conmutación: $[H,X] = 2X$, $[H,Y] = -2Y]$, y $[X,Y] = H$. A continuación, el reclamo es que para cualquier representación de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}))$, si
$$ \Theta = e^Xe^{-Y}e^X $$
entonces
$$ \Theta H = -H \Theta, \Theta = X - Y \Theta, \Theta Y = - X \Theta. $$
Empecé tratando de forzar esto con las relaciones de conmutación, pero conseguí $[e^X, H] = H - 2Xe^X$, de modo que
$$ \Theta H = e^X e^{-Y} (Él^X + -2Xe^X). $$
En este punto, no se sintió abrumado con la perspectiva de tratar a viajar $X$$e^Y$.
¿Cómo hacer estos cálculos???
En segundo lugar, Serre también afirma lo siguiente. Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira de álgebra que se descompone bajo la acción de una Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$ $$ \mathfrak{g} = \mathfrak{h} \bigoplus_{\alpha} \mathfrak{g}^{\alpha} $$ y deje $X_{\alpha} \in \mathfrak{g}^{\alpha} , Y_{\alpha} \in \mathfrak{g}^{-\alpha}, H_{\alpha} \in \mathfrak{h}$ ser elementos de la satisfacción de las relaciones de conmutación como en el anterior. Entonces $$ e^{X_{\alpha}}e^{-Y_{\alpha}}e^{X_{\alpha}} $$ restringe en $\mathfrak{h}$ a ser el habitual de reflexión asociados a $\alpha$, es decir, la negación de la raíz $\alpha$ y la fijación de la hyperplane determinado por $\alpha$.
Es un sencillo cálculo para ver que el elemento de hecho arreglar el ortogonal hyperplane, pero no sé cómo mostrar el resto.
¿Cómo se puede ver esto?
