Solución de$\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{H(x) y}{b} = H(-x)$

Question

Hace la ecuación

PS

¿Tiene una solución donde$$\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{H(x)}{b} y = c H(x)$es la función de paso de Heaviside y$H(x)$y$b$ son constantes?

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Actualización: ¿Qué pasa con la función de segundo paso ser$c$: $H(-x)$ $

Answer 1

Para$x<0$,$y''=0$, es decir,$$y=C_1x+C_0.

Por $x\ge0$, $y''-\frac1by=1$.

Suponiendo$b>0$, la solución de la ecuación homogénea es $$y=A\exp(\frac x{\sqrt b})+B\exp(-\frac x{\sqrt b}),$ $ y una solución particular es$$ y=-b. De ahí la solución general,$$y=A\exp(\frac x{\sqrt b})+B\exp(-\frac x{\sqrt b})-b.

Asegurará la continuidad de la función al equiparar la función y la primera derivada en$x=0$:$$C_0=A+B-b\\C_1=\frac A{\sqrt b}-\frac B{\sqrt b}.

En particular, a partir del estado estacionario,$A=B=\frac b2$ y$$y=b\left(\cosh(\frac x{\sqrt b})-1\right)H(x).

Answer 2

Voy a responder a la actualización de la pregunta, que pide para la solución del problema:

$$\color{green}{y''(x) - \frac{H(x)}{b} y(x) = H(-x) \, c } \tag{1}$$

que se puede expresar de forma equivalente como sigue:

$$\begin{array}{ll} y_1'' - \frac{1}{b} y_1 = 0 & \quad x > 0 \\ \tag{2} y_2'' = c & \quad x < 0 \end{array}$$

donde he denotado $y_1(x)$ como la solución para $x>0$ $y_2(x)$ la solución para $x<0$. Si integramos ambas ecuaciones se llega a:

$$\color{blue}{y_1(x) = A e^{r_1 x} + B e^{r_2 x}, \quad y_2(x) = \frac{c x^2}{2} + Dx +E} \tag{3}$$

donde $r_i$ son las soluciones de la ecuación característica $s^2 - 1/b = 0$ $A, B, D$ $E$ son constantes de integración. Para exigir la continuidad de la función y su primera derivada, se debe proporcionar:

$$y_1(0) = y_2(0), \quad y'_1(0) = y_2'(0), \tag{4}$$

que los rendimientos a:

$$\begin{align} A+B & = E \\ Ar_1 + B r_2 & = D, \tag{5} \end{align}$$ lo que nos da la solución, siempre $r_1 \neq r_2$:

$$\color{blue}{A = \frac{D-r_2 E}{r_1 - r_2} , \quad B = \frac{D - r_1 E}{r_2 - r_1}} \tag{6}$$

Las constantes $D$ $E$ siendo desconocido hasta que las condiciones de contorno o de las condiciones iniciales especificadas.

Espero que esto ayude!

Saludos.

Answer 3

No estoy seguro de si esta respuesta es correcta o no, pero en la medida en que la función de paso es solo una señal, la saqué de la integración.

Tenga en cuenta que, para encontrar las constantes, necesita los valores de los límites y compare el valor de la función en el punto$x=0$.

PS