La densidad de los números racionales e irracionales

Question

Desde $\mathbb {Q}$ es contable y $\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ no lo es, ¿qué nos dice esto sobre la densidad de los números racionales e irracionales a lo largo de la línea numérica real? Decir que existen más números irracionales que racionales parece bastante vago porque estamos comparando infinitos. ¿Cómo definimos la densidad aquí?

Answer 1

Se puede tener cualquier combinación de (contablemente infinito, incontable) y (denso en la línea, no denso en la línea). (A no ser que, como se ha sugerido en los comentarios, se tenga alguna noción de densidad distinta a la definida por el Capitán Halcón).

Contablemente infinito y denso en los reales: Rationals

Contablemente infinito y no denso en los reales: Números enteros

Incontables y densos en los reales: Irracionales

Incontable y no denso en los reales: Intervalo unitario

Answer 2

Un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}$ se dice denso si y sólo si cualquier elemento de $\mathbb{R}$ es un límite de una secuencia de elementos de $A$ .

De hecho, ambos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ son densos en $\mathbb{R}$ en ese sentido.

Como has señalado, $\mathbb{Q}$ es contable, mientras que $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ no lo es, pero la noción de densidad no tiene nada que ver con la contabilidad.

Observación. Para ver que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ , elijamos $x\in\mathbb{R}$ y para todos $n\in\mathbb{N}$ definamos: $$x_n:=\frac{\lfloor 10^nx\rfloor}{10^n}.$$ Es una secuencia de $\mathbb{Q}$ que converge hacia $x$ utilizando el teorema de squeeze. Para la densidad de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ considerar: $$y_n:=x_n+\frac{\sqrt{2}}{n+1}.$$

Answer 3

Como se ha aclarado en otras respuestas, la cardinalidad por sí misma no responde a las preguntas de densidad.

En cuanto a la definición de densidad, existen dos definiciones. Una es topológica y dice que un conjunto $A$ es denso si interseca todo conjunto abierto no vacío. Para la recta real esto equivale a decir que $A$ es denso (en la línea real $\Bbb R$ ) si interseca todo intervalo abierto $(x,y)$ con $x<y$ . En otras palabras, para todas las opciones de $x$ y $y$ con $x<y$ hay $a\in A$ con $x<a<y$ . Esta última condición suele denominarse "densa en orden" (en $\Bbb R$ ) y podría definirse sin referencia a la topología, para cualquier orden lineal en lugar de $\Bbb R$ . Es decir, $A$ es de orden denso en un orden lineal $(L,<)$ es para todos $x,y\in L$ con $x<y$ hay $a$ en $(x,y)$ Es decir, $x<a<y$ con $a\in A$ . Finalmente un conjunto $A$ es denso en sí mismo si $A$ es denso en el orden lineal $(A,<)$ . El conjunto $\Bbb Q$ de todos los números racionales es de orden denso en el conjunto $\Bbb R.$ El conjunto $\Bbb Q$ también es denso en sí mismo. El conjunto $\Bbb Z$ de todos los enteros no es denso en sí mismo, y no es denso en $\Bbb R$ . El conjunto Cantor del tercio medio $C$ no es denso en sí mismo, ya que tiene "huecos", por ejemplo, el intervalo $(\frac13,\frac23)$ no contiene elementos de $C$ . (Pero, $C$ es (topológicamente) denso en sí mismo, ya que no tiene puntos aislados). $C$ no es denso en ninguna parte (en $\Bbb R$ ), lo que significa que el complemento de su cierre (topológico) en $\Bbb R$ es (topológicamente) denso (y, por cierto, de orden denso).

Si $X$ es un espacio topológico y $A$ es un subconjunto, entonces decimos que $A$ es denso en $X$ siempre que el cierre de $A$ contiene $X$ . Cuando $X=\Bbb R$ esto significa una de las dos condiciones siguientes (1) el conjunto $A$ interseca todo intervalo abierto no vacío, o (2) para todo número real $x$ existe una secuencia de puntos de $A$ convergiendo a $x$ . Por otro lado, si $A=\Bbb Z$ entonces $A$ es denso en sí mismo (topológicamente), pero no denso en orden. En efecto, para cada $m\in\Bbb Z$ la secuencia constante $\langle m,m,...\rangle$ converge a $m$ . Por otro lado, el intervalo $(m,m+1)$ no contiene números enteros.

Answer 4

En caso de que hayas interpretado "denso" no en la definición topológica, sino como "muchos más irracionales que racionales", hay otro campo de las matemáticas que proporciona una forma alternativa de ver esto.

En la Teoría de la Medida existe el concepto de medir de un conjunto, que es una caracterización alternativa de su tamaño. Queremos una forma de definir una función sobre conjuntos, así que dejemos que $X\subseteq 2^\mathbb{R}$ sea una colección de conjuntos (tengo en mente uno concreto, el de Lebesgue $\sigma$ -álgebra, pero no te preocupes por eso). Ahora, define la función: $$\mu:X\to\mathbb{R}_{\geq 0}\cup\lbrace\infty\rbrace$$ que debe cumplir tres axiomas:

1. No negatividad. Para cualquier subconjunto $E\in X$ tenemos que $\mu(E)\geq 0$ . Intuitivamente, las cosas no pueden tener un tamaño negativo.

2. $\mu(\emptyset) = 0$ . Esto también debería parecer intuitivo, "la falta de un conjunto" no tiene medida (¡aunque habrá otros conjuntos sin medida!).

3. Aditividad contable en subconjuntos disjuntos. Si $E_1,E_2$ son subconjuntos disjuntos de $\mathbb R$ (así $E_1\cap E_2 = \emptyset$ ), entonces: $$\mu(E_1\cup E_2) = \sum_{i = 1}^2 \mu(E_i)$$ Esto será realmente cierto para contablemente muchos subconjuntos disjuntos, por lo que si $\lbrace E_i\rbrace$ son todos disjuntos por pares, entonces: $$\mu(\cup_{i= 1}^\infty E_i)= \sum_{i = 1}^\infty \mu(E_i)$$ En el caso de las sumas finitas, la intuición debería ser clara (piensa en cada conjunto como un círculo, como si hicieras un diagrama de Venn. Si no hay solapamiento entre los círculos, el "área" total debería ser simplemente todas las áreas individuales sumadas).

Desgraciadamente, la identidad anterior que funciona para sumas contables es menos claramente cierta para nuestra intuición. Sin embargo, si la aceptamos, obtenemos algunos resultados interesantes. El más aplicable a esto es que podemos calcular: $$\mu(\mathbb R\setminus\mathbb Q) = \infty,\quad\mu(\mathbb Q) = 0$$

Así, en términos de teoría de la medida, no hay esencialmente números racionales, sino infinitos irracionales.