Por definición, $R$ es un anillo semisimple iff es semisimple a la izquierda del módulo sobre sí mismo.
Deje $K$ dos caras ideal. La izquierda $R$ módulos de la forma $R/K$ tienen algún extra estructura en ellos, dado por el hecho de que la multiplicación escalar está íntimamente ligada con la multiplicación en el ring. Esto ayuda especialmente cuando nos queremos multiplicar por $1_R$, por ejemplo: tomar $K=0$ podemos demostrar que si $R$ es semisimple izquierdo del módulo a través de ella misma, es en realidad una suma directa de finitely muchos simples ideales.
Cuando usamos el normal multiplicación escalar como en el anterior, $R/K$ $R$ módulo tiene prácticamente la totalidad de las mismas propiedades que lo hace como un $R/K$ módulo; todos los que hemos hecho es que ha conseguido deshacerse del exceso de ruido y de hecho la acción de los fieles por el modding, el anillo de escalares por el annihilator $\text{Ann}_R(R/K)=K$. En particular, el de la izquierda $R/K$ submódulos de $R/K$ son los mismos que los de la izquierda $R$ submódulos de $R/K$, y un submódulo es simple, en un caso, el fib es simple en el otro. Por lo $R/K$ es semisimple $R$ módulo de iff es semisimple $R/K$ módulo.
A continuación, podemos utilizar la suposición de que el problema a la conclusión de que la $R/I$ $R/J$ son de hecho semisimple $R$ módulos. $R/(I \cap J)$ es isomorfo a un $R$ submódulo de $R/I \oplus R/J$, por el mapa que usted menciona, y tenga en cuenta que la multiplicación escalar en $R/(I \cap J)$ es de nuevo la multiplicación sería de esperar. Directo sumas de semisimple módulos son semisimple, por lo $R/I \oplus R/J$ es semisimple, y submódulos de un semisimple módulo se semisimple, por lo $R/(I \cap J)$ es semisimple $R$ módulo.
Ahora de nuevo se nos tenga en cuenta que $R/(I \cap J)$ es semisimple $R$ módulo de iff es semisimple $R/(I \cap J)$ módulo.
