Usando el teorema del valor intermedio para probar el número de raíces polinomiales

Question

He escuchado que hay una prueba de esto, básicamente que (creo) puedes usar el teorema del valor intermedio para probar que un polinomio de grado N no tiene más que N raíces.

Ya no estoy en la escuela, solo un ingeniero interesado. ¿Alguien sabe dónde puedo encontrar esta prueba o algún indicio realmente sólido sobre cómo hacerlo yo mismo? He estado fuera de esto por un tiempo y estoy oxidado.

Answer 1

Una expresión algebraica argumento: El hecho de que un polinomio de grado $n$ donde $n \ge 1$, en la mayoría de las $n$ raíces puede ser probado sin el uso de maquinaria del cálculo. Al $n=1$, el resultado es claro, de hecho hay precisamente una de las causas. Supongamos ahora que sabemos que el resultado es cierto para cualquier polinomio de grado $k$. Se demuestra que el resultado es cierto para cualquier polinomio de grado $k+1$.

Deje $P(x)$ tienen un grado $k+1$. Si $P(x)$ no tiene raíces, hemos terminado. Si $P(x)$ tiene una raíz $\alpha$, entonces el polinomio $x-\alpha$ divide $P(x)$. Por lo $P(x)$ es idénticamente igual a $(x-\alpha)Q(x)$ para algunos polinomio cociente $Q(x)$. Ahora $Q(x)$ tiene el grado $k$, por lo que por supuesto no tiene más de $k$ raíces. De ello se desprende que $P(x)$ tiene más de $k+1$ raíces, es decir, las raíces de $Q(x)$, junto con $\alpha$.

La anterior prueba de obras para polinomios con coeficientes en cualquier campo.

Un cálculo argumento: Para polinomios con coeficientes reales, podemos probar el resultado por el uso de "cálculo" de herramientas. Estos no son realmente adecuado, ya que el cálculo de herramientas son mucho más sofisticado que el algebraicas herramientas que se utilizan en la anterior prueba, y se termina con una prueba de que sólo se aplica a los polinomios con coeficientes reales. Pero como un ejercicio, vamos a hacerlo.

La herramienta que te da la más rápida argumento es el Valor medio Teorema, en realidad un caso especial de que generalmente se llama Teorema de Rolle. Este dice que si $f(x)$ es una función derivable en el intervalo de $[a,b]$, e $f(a)=f(b)=0$, hay un $c$,$a<c<b$, de tal manera que $f'(c)=0$. De manera informal, entre cualquiera de las dos raíces de la $f(x)$, hay una raíz de la derivada $f'(x)$.

De vuelta a los polinomios. Supongamos que sabemos que cualquier polinomio de grado $k$, con coeficientes reales, tiene en la mayoría de las $k$ bienes raíces. Queremos demostrar que un polinomio $P(x)$ grado $k+1$ tiene más de $k+1$ bienes raíces.

Supongamos que al contrario que $P(x)$ tiene al menos $k+2$ raíces. Elija cualquiera de los $k+2$ de ellos, y hacer una lista en orden creciente $\alpha_1$, $\alpha_2$, y así sucesivamente hasta el $\alpha_{k+2}$. Por el Teorema de Rolle, entre cualquiera de las dos raíces de la $P(x)$, hay una raíz de $P'(x)$. Esto implica que a $P'(x)$ tiene al menos $k+1$ raíces. Pero $P'(x)$ es un polinomio de grado $k$, por lo que por supuesto no puede tener más de $k$ raíces. Esto completa la prueba.

Podemos evitar el Teorema de Rolle, y sólo utilice el Teorema del Valor Intermedio. Queremos mostrar que entre cualquiera de las dos raíces de la $P(x)$, hay una raíz de $P'(x)$. La forma más fácil de cálculo se utiliza el hecho de que si $\alpha$ es una raíz de $P(x)$, $x-\alpha$ divide $P(x)$. Es un poco desagradable, ya que tenemos que tener especial cuidado con las raíces de multiplicidad mayor que $1$.

El Teorema Fundamental del Álgebra: me imagino que lo que te dijeron es una versión distorsionada de un comentario importante sobre las pruebas de lo que se suele llamar el Teorema Fundamental del Álgebra. A grandes rasgos, este resultado dice que un polinomio de grado $n \ge 1$ con coeficientes complejos tiene, si usted toma multiplicidades en cuenta, exactamente $n$ raíces en el campo de $\mathbb{C}$ de los números complejos.

Hay un gran número de diferentes pruebas de este resultado. El clásico dependen bastante sutiles argumentos acerca de las funciones de dos variables.
El final del artículo de Wikipedia tiene una lista de referencias útiles.

El siguiente importante resultado es una consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra. Por el contrario, el Teorema Fundamental del Álgebra puede derivado de una manera bastante simple de ella. El resultado se menciona sólo los números reales.

Teorema: Vamos a $P(x)$ ser un polinomio de grado $\ge 1$, con coeficientes reales. A continuación, $P(x)$ se puede expresar como un producto de $A_1(x)A_2(x)\cdots A_k(x)$, donde cada una de las $A_i(x)$ tiene coeficientes reales, y es de grado $1$ o $2$.

Hay pruebas de esto que el uso de un poco de álgebra (en el sentido moderno de álgebra) y muy poco de teoría de la función. El único bit de "cálculo" que se necesita es mostrar que cualquier extraño de grado del polinomio tiene una raíz real, y cualquier número positivo tiene una raíz cuadrada, ambos de los cuales son consecuencias del Teorema del Valor Intermedio. Las pruebas de que el uso de lo "poco" maquinaria de análisis tienden a presumir diciendo que "sólo" utilizar el Teorema del Valor Intermedio.

Answer 2

Tal vez, me estoy perdiendo algo, pero esto no parece factible. El IVT debe dar a la existencia de raíces, no el límite de cuántos. Dicho de otra manera el IVT deben estar preocupados con la "era (en blanco) y ahora (en blanco)" declaraciones (por ejemplo, fue positiva y ahora es negativo) no "es igual a (en blanco)". Con esto en mente, es claro que dado el resultado que se quiere demostrar que se puede demostrar que un polinomio no se puede cambiar el signo más de $n+1$ veces.

De todos modos, el resultado que usted está después de más de una expresión algebraica cosa, que proviene del hecho de que $p(\alpha)=0$ algunos $\alpha\in\mathbb{R}$ implica $p(x)=(x-\alpha)q(x)$ algunos $q(x)$ un polinomio real. Si $p$ había $n+1$ raíces, esto significa que usted podría escribir $p(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_{n+1})q(x)$, pero este iba a decir $\deg(p(x))\geqslant n+1$, lo cual no es cierto.

Espero que esto ayude.