Lo fundamental que resulta la condición de transversalidad en QED?

Question

Esta pregunta es probablemente contestó que en algún lugar en los libros de texto, pero no lo tengo aún, lo siento por mi ignorancia de antemano.

Hay una famosa transversalidad condición en E&M y QED

$$\vec{k}\cdot \vec{A}=0$$

Después de leer un poco de Cohen-Tannoudji tengo la impresión de que esta condición es una consecuencia de nosotros la elección de un Coulomb de calibre. Sin embargo, si sólo se $A_{\perp}$ es invariante gauge (por cierto, ¿cómo puedo ver?), no es imponer esta opción $$\vec{\nabla} \cdot \vec{A}=0~?$$ no Debería el campo de vectores de ser invariante gauge para una teoría de sentido? Y si este es el caso, no podemos decir que la transversalidad de la condición que se impone por la invariancia gauge?

Answer 1

El vector potencial no es invariante gauge, y hay muchos calibre potenciales que corresponden a un mismo campo electromagnético. Así, cuando tomamos la ruta integral de la $$\mathcal{Z} =\int D[A^\mu] \exp(-i S[A^\mu])$$ en efecto, estamos sobre-contar configuraciones del campo.

La forma de resolver esto es para agregar un indicador de la fijación de condiciones, de manera tal que cada uno de los físicos del campo electromagnético de la configuración solo se cuenta una vez. Que se realiza mediante la adición de un multiplicador de Lagrange, decir $\lambda \partial_\mu A^\mu$ en forma covariante para el Lorenz calibre, o $\lambda \nabla \cdot\mathbf A$ para el gauge de Coulomb. Por supuesto, hay otras opciones para los otros indicadores.

El de arriba se generaliza a todas las teorías gauge. Las palabras clave a buscar aquí es limitado sistemas Hamiltonianos y BRST formalismo. Aquí están algunas notas de la conferencia mediante la electrodinámica como un ejemplo, mostrando cómo lidiar con el medidor de simetrías.

Answer 2

En primer lugar, $\mathbf{k}\cdot\mathbf{A}=0$ $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ son de la misma condición, uno en el espacio de Fourier y el otro en el espacio normal.

La teoría por sí misma es invariante gauge. En otras palabras, las ecuaciones para los potenciales que se derivan de las ecuaciones de Maxwell son invariante gauge:

$$\partial^\mu \partial_\nu A^\nu - \partial^2 A^\mu = 0$$

Usted puede comprobar que esto es invariante bajo $A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \chi$.

Ahora, lo que puedes hacer es elegir un determinado indicador. Es decir, de imponer alguna condición en el potencial. Al hacer esto pierdes la invariancia gauge, por la sencilla razón de que ahora estamos trabajando en un determinado indicador. Dos ejemplos comunes de evaluar las condiciones son Lorenz calibre ($\partial_\mu A^\mu=0$; esto es muy bonita porque es invariante Lorentz) y de Coulomb o transversal indicador: $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$.

Parece que tienes las palabras un poco confundido, demasiado. El campo de vectores (suponiendo que te refieres a $\mathbf{A}$ o $A^\mu$, es decir, los potenciales) no es invariante gauge, debido a que el campo vectorial es precisamente la cosa que cambia cuando haces un medidor de transformación. En particular, $A_\perp$ no es invariante gauge: la razón por la que es importante es que en la transversal medidor de $\mathbf{A}(\mathbf{k})$ no tiene una componente paralela a $\mathbf{k}$ (de ahí el nombre). ¿Qué es invariante gauge es el campo electromagnético, esto es, $F_{\mu\nu}$ o de los campos eléctrico y magnético, si lo prefiere. Se construyen a partir de las potencialidades de tal manera que ellos no se verán afectados si usted hace un medidor de transformación.

Y no, no necesitas nada para ser invariante gauge de la teoría a tener sentido. Usted postulado de sus ecuaciones y ya sea que están invariante gauge o no. En QFT generalmente es altamente deseable para una teoría basada en un medidor de simetría (como el Modelo Estándar es), pero no es necesario. La interacción débil como lo vemos en las energías bajas, no es invariante gauge, por ejemplo: la simetría se rompe.

Answer 3

Una simple reacción rápida que no requiere de largos párrafos es que la primera ecuación es en el impulso del espacio y la otra ecuación es la misma ecuación, pero en la posición del espacio de pensamiento creo que, estrictamente hablando, en el impulso de espacio en el condtion es $ k \cdot\epsilon =0 $ donde $ \epsilon $ es el vector de polarización.

Para responder a su pregunta directamente, lo fundamental que es la condición de transversalidad? Primera nota de que $ A _{\mu}$ tiene 4 grados de libertad, mientras que en realidad debemos de 2. Así que antes de seguir adelante tenemos que reducir el número de grados de libertad. Así que mientras usted está usando un medidor de la teoría (en este caso un abelian teoría de gauge) deberá imponer 2 condiciones para reducir el número de grados de libertad. Pero si uno encuentra una manera de hacer QED sin el uso de los cuatro vectores potenciales, a continuación, presumiblemente uno ya tiene el número apropiado de grados de libertad haciendo que la imposición de la transversalidad innecesario.