Un integrante del dominio $R$ se llama casi euclidiana si hay una función de $$N:R \setminus \{0\} \to \mathbb{Z}^{>0} $$ que satisface la siguiente propiedad: para cada $a,b \in R$$a \ne 0$, $a \mid b,$ o de no existir $x,y \in R$ tal que $N(ax-by) < N(a).$ $y = 1$ (creo que esto es un error tipográfico y medios de $x = 1$) cambios en la definición de un casi euclidiana a un dominio euclídeo.
Probar que cada casi euclidiana de dominio es uno de los principales ideales de dominio.
Deje $R$ ser casi un dominio euclídeo y deje $\{0\} \ne U \subset R$ ser un ideal (Si $U = \{0\},$ lo hace desde $\{0\} = (0)).$ Consideran que el set $\mathcal{S} = \{N(a):a \in U, a \ne 0 \}.$ $\mathcal{S} \subset \mathbb{Z}^{>0}$ y no está vacío desde $U \ne \{0\}.$ Dice $\mathcal{S}$ tiene al menos un elemento de a $d$ y establezca $N(a) = d$ $a \in U.$ Supongamos $b \in U.$ Por la casi euclidiana de la propiedad, $ax = r + by$ algunos $x,y \in R$ $r = 0$ o $N(r) < N(a).$ Desde $a,b \in U,$ se sigue que $ax,by \in U$, de modo que $ax - by = r \in U.$ Si $r \ne 0,$$N(r) < N(a),$, pero desde que $N(a)$ es igual a la del elemento más pequeño en $\mathcal{S},$ debe ser en el caso de que $a \mid b.$ por lo tanto $b = aq$ para algunos $q \in R$, de modo que $b \in (a).$ $U \subset (a)$ y desde $(a) \subset U$, por definición, de un ideal, llegamos a la conclusión de que $U = (a). \text{ } \Box$
Estoy tratando de demostrar que cada casi euclidiana es un dominio de PID, pero aquí me quedo atascado. En la habitual prueba (la prueba de que un dominio euclídeo es un PID), asumimos $b \in U$ y obligando a $r = 0$ rendimientos $b = aq + r \Longleftrightarrow aq + 0 = aq,$ lo que demuestra que $b \in (a) = \{ar: r \in R\}.$ Esto demuestra que $U \subset (a),$ y desde $(a) \subset U$, por definición, $U = (a).$ Aquí es un poco más confuso, ya que en este caso particular, $by$ es un múltiplo de a $a$ en lugar de $b$ ser un múltiplo de $a$ por sí mismo.
