¿Inverso de un par ordenado?

Question

Dejemos que $f: A \to B$ sea una función biyectiva donde $A = [0, 2\pi)$ y $B$ es el círculo unitario. Encuentra la inversa de $f(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)$ .

No entiendo qué significa tomar la inversa de un par ordenado. Veo que la función está mapeando puntos del intervalo $[0, 2\pi)$ a coordenadas en el círculo unitario en $\mathbb{R^2}$ plano, así que tenemos que llevar esas coordenadas de vuelta al intervalo $[0, 2\pi)$ . Supongo que esto implica alguna función de dos variables $f(x,y)$ con funciones inversas $\cos^{-1}x$ y $\sin^{-1}x$ ya que queremos que el valor de la función inversa sea un número real en el intervalo $[0, 2\pi)$ .

Answer 1

Utilice las funciones inversas de $\sin$ y $\cos$ $$\arcsin : [-1, 1] \rightarrow [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$ $$\arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$$

$f^{-1}(x, y) = \arcsin x$ , si $\arcsin x = \arccos y$

$f^{-1}(x, y) = 2\pi -\arccos x $ , si $\arcsin x < 0$ y $\arccos y > \frac{\pi}{2}$

$f^{-1}(x, y) = \pi -\arcsin x$ , si $\arcsin x \geq 0$ y $\arccos y > \frac{\pi}{2}$

$f^{-1}(x, y) = \arcsin x + 2\pi$ , si $\arcsin x < 0$ y $\arccos y \leq \frac{\pi}{2}$

Answer 2

Sugerencia $g(\cdot)$ es un inverso de $f(\cdot)$ si y sólo si $g(f(x)) = f(g(x)) = x$ para todos los $x$ .

Answer 3

Lo siguiente $f^{-1}$ no es la función inversa, porque hay que añadir $2\pi$ a las salidas negativas. Obsérvese que la imagen tiene que ser $[0,2\pi)$ no $(-\pi,\pi]$ .

$$f^{-1}(c,s) = \begin{cases} \arctan(\frac{s}{c}),& c > 0 \\ \frac{\pi}{2}s, & c = 0\\ \pi + \arctan(\frac{s}{c}),& c < 0 \end{cases}$$