Las raíces de $f(x)=x^3-x^2-2x+1$

Question

Podemos demostrar mediante un estudio de la monotonía que la función de $f(x)=x^3-x^2-2x+1$ tiene tres raíces reales. Sin embargo, cuando voy a resolver la ecuación de $f(x)=0$ usando Mathematica, tengo $$x_1=\frac{1}{3}+\frac{7^{2/3}}{3 \left(\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}}+\frac{1}{3} \left(\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}$$ $$x_2=\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3 \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}$$ $$x_3=\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3 \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}$$

Desde esas raíces son reales, entonces tal vez hay una forma de escribir sin usar el complejo número de $i$?

Answer 1

Usted necesita los números complejos, incluso cuando hay tres raíces reales. Que fue un verdadero rompecabezas cuando el cúbicos primero fue resuelto.

Leer sobre el casus irreducibilis: https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

Answer 2

Este es el Ejemplo 9.2.2 en la primera edición de la Teoría de Galois por David R. Cox. Él da el polinomio, en la página 239, como $y^3 + y^2 - 2 y -1.$

Fácil lo suficiente para confirmar que el siguiente bit con identidades trigonométricas para $\cos 2t$ $\cos 3t$ en términos de $\cos t \; .$ Tenemos $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$ $\cos 3t = 4 \cos^3 t - 3 \cos t.$ Los más fáciles de la prueba es lo que la intención de Gauss, tomar un trivial séptima raíz de la unidad $\omega,$, de modo que $\omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1 = 0.$, a Continuación, tome $x = \omega + \frac{1}{\omega},$ calcular el $x^3 + x^2 - 2x - 1,$ y confirmar que $(x^3 + x^2 - 2x - 1) \omega^3 = \omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1,$, que está a cero.

Las raíces de $x^3 + x^2 - 2 x -1$ $$ 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{7} \right) \; , \; 2 \cos \left( \frac{4 \pi}{7} \right) \; , \; 2 \cos \left( \frac{6 \pi}{7} \right) \; . \; $ $ Tuyo son negativos de estos,por lo tanto $$ 2 \cos \left( \frac{ \pi}{7} \right) \; , \; 2 \cos \left( \frac{3 \pi}{7} \right) \; , \; 2 \cos \left( \frac{5 \pi}{7} \right) \; . \; $$

de Cox:

De Reuschle (1875)