He ganado mucha intuición física sobre los conmutadores leyendo este tema. ¿Cuál es el significado físico de los conmutadores en la mecánica cuántica?
Tengo preguntas similares sobre los anticomutadores. ¿Qué significa físicamente que dos operadores sean anticomutadores?
Lo siento, pero el análisis de lo que significan los conmutadores (en el enlace dado) aunque es muy bueno, no aporta intuición y no se generaliza a los anticomutadores.
Conmutadores utilizados para las partículas de Bose hacen que la ecuación de Klein-Gordon tenga energía acotada (una condición física necesaria, que los anticomutadores no cumplen).
Por otro lado anticomutadores hacen que la ecuación de Dirac (para fermiones) tenga energía acotada (a diferencia de los conmutadores), véase teorema de conexión de espín-estadística .
En este sentido, los anticomutadores son el análogo exacto de los conmutadores para los fermiones (¿pero qué significan realmente los conmutadores?). Una pregunta bonita y difícil de responder intuitivamente.
En cierto sentido, los conmutadores (entre observables) miden la correlación de los observables. Por lo tanto, es también una medida (alejada) de la diagonalización simultánea de estos observables.
Elaborando un poco sobre esto.
Digamos que tenemos un estado $\psi$ y dos observables (operadores) $A$ , $B$ . Cuando estos operadores se diagonalizan simultáneamente en una representación dada, actúan sobre el estado $\psi$ por una simple multiplicación con un número real (número c) (ya sea $a$ o $b$ ), un valor propio de cada operador (es decir $A\psi=a\psi$ , $B\psi=b\psi$ ).
Sabemos que para los números reales $a,b$ esto se mantiene $ab-ba=0$ idénticamente (o en forma de operador $(AB-BA)\psi=0$ o $\left[A,B\right]\psi=0$ ) por lo que la expresión $AB-BA=\left[A,B\right]$ (el conmutador ) se convierte en una medida alejada de la diagonalización simultánea (cuando los observables ir al trabajo el conmutador es idéntico a cero y no-cero en cualquier otro caso ).
Otra forma de ver la expresión del conmutador (que está relacionada con el párrafo anterior), es como si se tomara un camino (infinitesimal) desde el punto (estado) $\psi$ para señalar $A \psi$ y luego señalar $BA \psi$ y luego la ruta de $\psi$ a $B \psi$ a $AB \psi$ . Si los operadores conmutan (son simultáneamente diagonalizables) las dos trayectorias deberían aterrizar en el mismo estado final (punto). Si no es así, su diferencia es una medida de correlación (medida que se aleja de la diagonalización simultánea).
Cuando se habla de fermiones (principio de pauli-exclusión, variables de grassman $\theta_1 \theta_2 = - \theta_2 \theta_1$ ), los conmutadores tienen que ajustarse en consecuencia (cambiar el signo menos), convirtiéndose así en anticomutadores (para medir la misma cantidad).
Continuando con la línea de pensamiento anterior, la expresión utilizada se basó en el hecho de que para los números reales (y por lo tanto para los operadores de bosones) la expresión $ab-ba$ es (idénticamente) cero.
Sin embargo, variables del fermión (grassman) tienen otra álgebra ( $\theta_1 \theta_2 = - \theta_2 \theta_1 \implies \theta_1 \theta_2 + \theta_2 \theta_1=0$ , idénticamente ).
Entonces, ¿qué era un relación cero idéntica para los operadores de bosones ( $ab-ba$ ) debe ajustarse para los operadores de fermiones a la relación cero idéntica $\theta_1 \theta_2 + \theta_2 \theta_1$ y por lo tanto se convierte en un anti-comutador .
Los observables no correlacionados (ya sean bosones o fermiones) conmutan (o respectivamente anticonmutan), por lo que son independientes y pueden ser medidos (diagonalizados) simultáneamente con una precisión arbitraria. Si no, los observables están correlacionados, por lo que el acto de fijar un observable, altera el otro observable haciendo imposible la medición/manipulación simultánea (arbitraria) de ambos.
PS. Veremos cómo se puede generalizar el análisis anterior a otra álgebra arbitraria (basada en relaciones idénticas a cero), por si en el futuro aparece otro tipo de partícula que tenga otra álgebra para sus valores propios.
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