Si $4^n + 2^n + 1$ es primo, entonces $n$ debe ser una potencia de $3$

Question

Yo jugueteaba con algo de teoría de números cuando me topé con esta. La declaración de que estoy tratando de demostrar que es,

Si $4^n + 2^n + 1$ es primo, entonces $n$ debe ser una potencia de $3$

Creo que es cierto, pero no estoy del todo seguro de cómo ir sobre la prueba. Consejos para empezar?

Traté de reducir el problema a algo de la forma $2^{2n} + 2^{n} + 1$ y jugar con mods, pero fue en vano. No estoy realmente convencido de que es cierto de mí que es una posición difícil para demostrar algo.

Answer 1

Sugerencia. Para el prime $p\not=3$ hemos $$(x^2+x+1)\mid (x^{2p}+x^p+1)$$ Prueba.

\begin{align}x^{2p}+x^p+1&=\frac{x^{3p}-1}{x^p-1}\\&=\frac{(x^3-1)\left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}x^{3k}\right)}{x^p-1}\\&=\frac{(x^2+x+1)\left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}x^{3k}\right)}{(x^p-1)/(x-1)}\end{align} Ahora basta probar \begin{align}\frac{x^p-1}{x-1}\big|\sum_{k=0}^{p-1}x^{3k}\end{align} Desde $x^p\equiv 1\pmod{x^p-1}$, vemos a $x^{np+j}\equiv x^j\pmod{\frac{x^p-1}{x-1}}$. Ahora tenga en cuenta que desde $3\not\mid p$ $k=0,1,\cdots,p-1$ la secuencia de $3k$ constituyen un residuo de sistema de $p$. Así \begin{align}\sum_{k=0}^{p-1}x^{3k}&\equiv\sum_{j=0}^{p-1}x^j\pmod{\frac{x^p-1}{x-1}}\\ & \equiv\frac{x^p-1}{x-1}\equiv 0\pmod{\frac{x^p-1}{x-1}}\end{align}