La prueba de la irracionalidad de la $\sqrt{3}$ - la lógica de la pregunta

Question

Demostrar $\sqrt{3}$ es irracional. (La prueba por contradicción).

Deje $\sqrt{3}$ ser un número racional en su forma más simple $\frac pq$.

Así que el cuadrado ambos lados de $\sqrt{3}=\frac pq$ obtenemos $3=(\frac {p}{q})^2$ lo que se traduce a $3=\frac{p^2}{q^2}$.

Multiplicar ambos lados de la ecuación por $q^2$ rendimientos $3q^2=p^2$. Ahora $p^2$ es divisible por 3 y por lo tanto un número impar, $p$ también es extraño, porque cualquier número impar cuadrado es también impar.

Así que vamos a $p=3s$ donde s es un entero. A continuación,$3q^2=(3s)^2 = 3q^2=9s^2$. Dividiendo ambos lados de la ecuación por 3 nos deja con $q^2=3s^2$.

Aquí es tomado ese $q^2$ es divisible por 3 y es impar y es $q$.

Por lo tanto, $q \text{ and}\; p$ tienen un factor común de ser impar y múltiplo de 3, lo que demuestra que el $\sqrt{3}$ es irracional.

Hay huecos que se podría mejorar?

Answer 1

"Ahora $p^2$ es divisible por 3 y por lo tanto un número impar, $p$ también es extraño, porque cualquier número impar cuadrado es también impar". Eso es un no-sequitur. El hecho de que cualquier número impar cuadrado es raro, no descartar otros de los números impares.

"Así que vamos a $p=3s$ donde s es un entero." Eso es ilegítimo. $p$'s de ser raro, no hacen que sea múltiplo de 3.

Así que usted necesita para reparar el argumento de $p^2$ a ser divisible por 3 a $p$ ser de la forma $p=3s$.

Answer 2

Sí.

En primer lugar, la analogoues de incluso el número de demostrar $\sqrt2$ es irracional, no es extraño números para $\sqrt3$, pero los númerosdivisibles por $3$' (y estos no son necesariamente impar, por ejemplo,$12$).

En segundo lugar, no ha terminado todavía. Usted tiene que dividir el $3$'s de un tiempo infinito, contradiciendo la fundamental thm de la teoría de los números, o, la más sencilla, es que el $p$ $q$ se supone que son relativamente primos ($\displaystyle\frac pq$ sería simplifiable).

Answer 3

1) me gustaría cambiar el primer "Dejar" a "asumir por la negación"

2) 2) $p^{2}$ no se toma para ser divisible por $3$, llegamos a la conclusión de este

3) "y por lo tanto un número impar" - esto es incorrecto ya que, por ejemplo, $3\mid6$ pero $6$ que no es extraño