Si una secuencia de formas cuadráticas converge en probabilidad y un vector aleatorio converge en distribución, a continuación, $X_n^TQ_nX_n$ converge

Question

Si una secuencia de formas cuadráticas converge en probabilidad a $Q_n\xrightarrow{P}Q$ y un vector aleatorio converge en distribución $X_n\xrightarrow{d}X$$X_n^TQ_nX_n\xrightarrow{d}X^TQX$.

Esta es una declaración de una fuente en línea en las estadísticas. Se sigue del teorema de Slutsky y la asignación continua teorema. También puedo ver cómo intuitivamente debería ser verdadero, pero estoy teniendo problemas para configurar el argumento. No importa lo que haga, al final tengo un producto de dos cosas convergentes sólo en la distribución.

Answer 1

Un primer paso es demostrar que la secuencia de $\left(X_n^T(Q_n-Q)X_n\right)_{n\geqslant 1}$ converge en probabilidad a $0$. Para ver esto, arreglar un positivo $\varepsilon$. Hay algunos $R$ por lo que para cada uno de los $n$, $\mathbb P\{\lVert X_n\rVert\gt R\} \lt \varepsilon$. Entonces \begin{align} \mathbb P\{\left|X_n^T(Q_n-Q)X_n\right|\gt \delta\}&\leqslant \mathbb P\{\lVert X_n\rVert \lVert Q_n-Q\rVert \lVert X_,\rVert \gt \delta\} \\ &\leqslant 2\mathbb P\{\lVert X_n\rVert \gt R\}+\mathbb P\{\lVert Q_n-Q\rVert \gt \varepsilon/R^2\}\\ &\leqslant 2\varepsilon+ \mathbb P\{\lVert Q_n-Q\rVert \gt \varepsilon/R^2\}. \end{align} Por lo tanto, la cuestión se reduce a los casos en que $Q_n=Q$ por cada $n$.

Es cierto que la secuencia de $\left(X_n^TQX_n\right)_{n\geqslant 1}$ es apretado, por lo que admite una larga que converge en distribución.

Pero si $X$ es simétrica, no-degenerado variable aleatoria y $X_n:=e^{(-1)^nX}$, $X_n$ tiene la misma distribución que $e^{X}$; si $Q=e^{2X}$, entonces la distribución en $X_nQX_n$ es de $1$ o $e^{4X}$, por lo tanto, este no converge en distribución.

Sin embargo, tenemos $X_n^TQX_n\to X^TQX$ si $Q$ no es al azar, ya podemos utilizar la asignación continua teorema de con $x\mapsto x^TQx$.

Answer 2

Escribir $Q_n = \Sigma_n^T\Sigma_n \xrightarrow{p}\Sigma^T\Sigma = Q$

Por el teorema de Slutsky $X_n^T\Sigma_n^T \xrightarrow{d} X^T\Sigma^T = (\Sigma X)^T$

Del mismo modo, $\Sigma_n X_n\xrightarrow{d} \Sigma X$.

Ahora $(\Sigma X)^T\Sigma X$ es un polinomio cuadrático en $\dim(X)$ variables, pero cada uno de sus términos es un monomio de una variable. Para continuar la asignación teorema se aplica.