Es $\approx$ realmente un séquito?

Question

Yo estaba buscando en la aplicación de las ideas en el papel no estándar de la Topología para el Uniforme de los espacios. Dado un espacio uniforme $(X,\Phi)$, podemos definir la relación $\approx$ ${}^*X$ siguiente $$\approx \, = \bigcap \{{}^*U:U \in \Phi \}$$

Por ejemplo, si $(X,\Phi)$ es el de los números reales con sus ordinario estructura uniforme, a continuación, $x \approx y$ fib $x-y$ es un infinitesimal en el hyperreal números. Si hacemos uso de la métrica $|x^3 - y^3|$, en lugar de los números reales ordinarios $|x - y|$ métrica, a continuación, $H + \frac 1H \not \approx H$ infinitas $H$ (a pesar de $H + \frac 1{H^3} \approx H$).

De hecho, parece que podemos demostrar que $\approx$ es un entourage (es decir,$\approx \, \in {}^*\Phi$). Tome las siguientes declaraciones

• La declaración "$V \in \Phi$"
• La declaración "$V \subseteq U$" para cada una de las $U \in \Phi$.

Por la tercera propiedad de los séquitos, cualquier número finito de estas declaraciones es válido. Por lo tanto, por la Saturación de la propiedad, no está normalizada $V$ que satisface la transferencia de todas estas declaraciones. En particular, $V \in {}^* \Phi$. Además, $V \subseteq \, \approx$. Por la segunda propiedad de los séquitos, $\approx$ es por lo tanto un séquito.

Es mi prueba correcta? El problema es que, volviendo a la línea real con su habitual uniforme de la estructura, podemos asignar a cada uno de entourage un $V$ "de diámetro", que se define como el supremum de las distancias entre los puntos de $x$ $y$ tal que $(x,y) \in V$. Por lo tanto, debemos ser capaces de asignar un hyperreal número de $\infty$$\approx$, al igual que este, pero que realmente no puede. Está a menos de cada positivas que no son infinitesimales (así, en particular, no es $\infty$), pero mayor que todos los infinitesimales.

Así que, ¿qué está pasando? Es $\approx$ realmente un séquito?

Answer 1

La prueba sería correcta si usted sabía que $\approx$ es un conjunto interno. Sin embargo, generalmente no se, y si no es un conjunto interno, que ciertamente no puede ser un elemento de ${}^*\Phi$. De hecho, la contradicción en que llegó muestra que para los habituales de la uniformidad en la línea real, $\approx$ no puede ser la norma.

Para ser claros, ${}^*\Phi$ es no una uniformidad en el más literal conjunto teórico sentido. Más bien, cumple con la versión de la definición de una uniformidad que se obtiene por la aplicación de la Transferencia a la definición habitual. En particular, la definición habitual consiste en la cuantificación sobre todos los subconjuntos de a $X\times X$ (es decir, los elementos de $\mathcal{P}(X\times X)$), y esto se convertirá en una cuantificación sobre todos los internos de los subconjuntos de a ${}^*X\times {}^*X$ (ya que esos son los elementos de ${}^*\mathcal{P}(X\times X)$).